Considerando a circunferência C1 de centro C=(1,-1) e raio r=2, descreva:
a) A equação na forma reduzida;
b) Gráfico da circunferência C1;
c) Os pontos da circunferência C1 correspondentes aos pontos cardeais No e Oeste, são;
d) A equação na forma geral;
e) A equação na forma matricial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a circunferência C1 de centro C=(1,-1) e raio r=2.
Matéria: geometria analítica (equação de círculo).
O que vamos precisar:
  • Saber a forma reduzida (ou canônica) de uma circunferência:
    (x-h)^2+(y-k)^2=r^2.
  • Como extrair o gráfico a partir do centro e do raio.
  • Como achar pontos cardeais (Norte, Sul, Leste, Oeste) mudando só uma coordenada.
  • Como expandir para a forma geral Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0.
  • Como escrever isso em forma matricial de conica [x;y;1],Q,[x;y;1]^T=0.

Passo 2

Equação na forma reduzida.
Teoria: toda circunferência com centro (h,k) e raio r tem equação
(x-h)^2+(y-k)^2 ;=; r^2
Aqui h=1, k=-1, r=2. Então
(x-1)^2+(y+1)^2 ;=; 4

Passo 3

Gráfico da circunferência.
  1. Marco o centro em (1,-1).
  2. Com régua ou compasso, desenho um círculo de raio 2 ao redor desse ponto.
  3. Opcional: marco os pontos cardeais para ajudar na visualização.

Passo 4

Pontos cardeais Norte e Oeste.
  • Norte (No): mesma abscissa x=1, só soma o raio à ordenada:
    (1,;-1+2) = (1,,1).
  • Oeste: mesma ordenada y=-1, só subtrai o raio da abscissa:
    (1-2,;-1) = (-1,,-1).

Passo 5

Equação na forma geral.
Pegamos (x-1)^2+(y+1)^2=4 e expandimos passo a passo:
(x^2 - 2x +1) + (y^2 +2y +1) = 4
x^2 + y^2 -2x +2y +2 = 4
x^2 + y^2 -2x +2y -2 = 0

Passo 6

Equação na forma matricial.
Para uma cônica , a matriz tem a parte quadrática, linear e constante:
Se a forma geral é
então
pois isso reproduz .
Logo a equação matricial é
]

Resposta

a) Forma reduzida:
b) Gráfico: círculo de centro , raio 2.
c) Pontos No e Oeste:
No , Oeste .
d) Forma geral:
e) Forma matricial:

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