Considere um triângulo cujos vértices são
e
.
a) Ache os três ângulos internos do triângulo.
b) Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.
c) Ache também a área do triângulo via produto vetorial.
[Dica: Para usar o produto vetorial considere as coordenadas
dos vértices iguais a 0.]
a) Ache os três ângulos internos do triângulo.
b) Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.
c) Ache também a área do triângulo via produto vetorial.
[Dica: Para usar o produto vetorial considere as coordenadas
Passo 1
O enunciado dá um triângulo com vértices em
,
e
.
Conteúdo: geometria analítica no plano (distâncias, lei dos cossenos) e cálculo de área usando altura e produto vetorial em .
Conteúdo: geometria analítica no plano (distâncias, lei dos cossenos) e cálculo de área usando altura e produto vetorial em
Passo 2
Calcular os comprimentos dos lados usando distância entre pontos:
Passo 3
Determinar os ângulos internos por lei dos cossenos. Para o ângulo em
:
Como a soma dos ângulos é
e o triângulo é isósceles em
e
, cada um vale
Passo 4
Calcular a área usando base e altura. Visto que o ângulo em
é reto, podemos tomar as pernas
e
como base e altura:
Para ver a altura relativa a
, note que
Passo 5
Calcular a área via produto vetorial em
, elevando as coordenadas
a zero. Os vetores a partir de
são
O produto vetorial é
logo
Resposta
a)
,
,
.
b) , altura relativa a
igual a
.
c) .
b)
c)