Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
a) Ache os três ângulos internos do triângulo.
b) Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.
c) Ache também a área do triângulo via produto vetorial.
[Dica: Para usar o produto vetorial considere as coordenadas z dos vértices iguais a 0.]

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices em A=(3,1), B=(5,-2) e C=(6,3).
Conteúdo: geometria analítica no plano (distâncias, lei dos cossenos) e cálculo de área usando altura e produto vetorial em R^3.

Passo 2

Calcular os comprimentos dos lados usando distância entre pontos:
AB=raiz(5-3)^2+(-2-1)^2=raiz4+9=raiz13,
BC=raiz(6-5)^2+(3-(-2))^2=raiz1+25=raiz26,
AC=raiz(6-3)^2+(3-1)^2=raiz9+4=raiz13

Passo 3

Determinar os ângulos internos por lei dos cossenos. Para o ângulo em A:
cos A=AB^2+AC^2-BC^22;AB;AC =13+13-262raiz13raiz13 =0 Longrightarrow A=90^circ
Como a soma dos ângulos é 180^circ e o triângulo é isósceles em B e C, cada um vale
B=C=180^circ-90^circ2=45^circ

Passo 4

Calcular a área usando base e altura. Visto que o ângulo em A é reto, podemos tomar as pernas AB e AC como base e altura:
Área=ABcdot AC2 =raiz13,raiz132 =132 Á
Para ver a altura relativa a BC, note que
h=2,ÁreaBC =13raiz26 =13raiz2626 =raiz262 Á

Passo 5

Calcular a área via produto vetorial em R^3, elevando as coordenadas z a zero. Os vetores a partir de A são
AB=(2,-3,0), AC=(3,2,0)
O produto vetorial é
ABtimesAC=(0,0,|,2cdot2-(-3)cdot3|) =(0,0,13),
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|ABtimesAC|=13 Longrightarrow Área=|ABtimesAC|2=132 Á

Resposta

a) A=90^circ, B=45^circ, C=45^circ.
b) Área=132Á, altura relativa a BC igual a raiz262.
c) Área=|ABtimesAC|2=132Á.

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