Determine o centro e o raio da circunferência x^2+y^2-4 x-8 y+19=0

Passo 1

Opa, vamos lá! A questão pede pra gente achar o centro e o raio da circunferência
x^2+y^2-4x-8y+19=0
Isso é geometria analítica, mais especificamente circunferência no plano cartesiano.
Pra resolver, vamos usar a técnica de completar o quadrado e transformar na forma padrão
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
de onde sai direto o centro (h,k) e o raio r.

Passo 2

Primeiro, completar o quadrado no termo de x:
  1. Coeficiente de x é -4. Divide por 2: tfrac-42=-2.
  2. Eleva ao quadrado: (-2)^2=4.
  3. Soma e subtrai 4 para não mudar a equação:
x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4

Passo 3

Agora, completar o quadrado no termo de y:
  1. Coeficiente de y é -8. Divide por 2: tfrac-82=-4.
  2. Eleva ao quadrado: (-4)^2=16.
  3. Soma e subtrai 16:
y^2 - 8y = y^2 - 8y + 16 - 16 = (y - 4)^2 - 16

Passo 4

Substitui esses resultados na equação original:
(x-2)^2 - 4 ;+;(y-4)^2 - 16 ;+;19 ;=;0
Juntando constantes: -4 -16 +19 = -1. Então
(x-2)^2 + (y-4)^2 - 1 = 0 Longrightarrow (x-2)^2 + (y-4)^2 = 1
Aí já dá pra ver que o centro é (2,4) e o raio é raiz1=1.

Resposta

Centro: (2,4).
Raio: 1.

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