Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).
, para

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos o conjunto S = { (x₁,x₂,…,xₙ) ∈ ℝⁿ | xᵢ > 0 para i=1,2,…,n }. O objetivo é classificar S como aberto, fechado ou nenhum dos dois, e também encontrar sua fronteira. Vamos usar noções de topologia em ℝⁿ: vizinhança (bola aberta), interior, fecho e fronteira.

Passo 2

Provar que S é aberto: tome um ponto x = (x₁,…,xₙ) em S, logo cada xᵢ > 0. Defina r = min{x₁,…,xₙ}, então r > 0. Considere a bola aberta de raio r centrada em x, ou seja, B(x,r) = {y ∈ ℝⁿ | ||y–x|| < r}. Para qualquer y em B(x,r) temos ||y–x|| < r ≤ xᵢ para todo i, o que implica yᵢ > xᵢ – ||y–x|| > 0. Logo B(x,r) ⊆ S. Isso mostra que todo ponto de S possui uma vizinhança inteiramente contida em S, portanto S é aberto.

Passo 3

Provar que S não é fechado: o complementar de S em ℝⁿ é C = {x ∈ ℝⁿ | existe i tal que xᵢ ≤ 0}. Se C fosse aberto, então para qualquer ponto z com z₁ = 0 e zⱼ > 0 (j>1) haveria uma bola B(z,ε) totalmente contida em C. Mas pontos y em B(z,ε) suficientemente próximos podem ter y₁ > 0, ficando em S, contra a suposição. Alternativamente, observe que pontos como z = (0,1,…,1) são limites de sequências em S mas não pertencem a S, logo S≠cl(S) e não é fechado.

Passo 4

Determinar a fronteira de S: em topologia temos ∂S = cl(S) \ int(S). Já vimos que int(S)=S e cl(S) = {x ∈ ℝⁿ | xᵢ ≥ 0 para todo i}. Logo
∂S = x ∈ ℝⁿ mid cada xᵢ ≥ 0 setminus x ∈ ℝⁿ mid cada xᵢ > 0 = x ∈ ℝⁿ mid existe i tal que xᵢ = 0

Resposta

S é aberto e não é fechado. A fronteira de S é ∂S = {x ∈ ℝⁿ | existe i tal que xᵢ = 0}.

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