\nabla^{2} \boldsymbol{F}=\nabla^{2}(P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k})=\nabla^{2} P \boldsymbol{i}+\nabla^{2} Q \boldsymbol{j}+\nabla^{2} R \boldsymbol{k}
(b) utilize a identidade do item (a) para obter o resultado no problema 23.
25. Se \mathbf{E}=\mathbf{E} (x, y, z, t) e \mathbf{H}=\mathbf{H} (x, y, z, t) representam os campos elétrico e magnético no espaço livre, então as equações de Maxwell são
onde c é a velocidade da luz. Use a identidade do problema 24 para mostrar que \boldsymbol{E} e \boldsymbol{H} satisfazem
(a) \quad \nabla^{2} \boldsymbol{E}=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}
(b) \quad \nabla^{2} \boldsymbol{H}=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{H}}{\partial t^{2}}
Passo 1
O enunciado nos pede:
(a) provar a identidade vetorial
para \boldsymbol{F}=P\,\boldsymbol{i}+Q\,\boldsymbol{j}+R\,\boldsymbol{k} com derivadas parciais contínuas;
(b) usar essa identidade nas equações de Maxwell no vácuo
Para \boldsymbol{H} o raciocínio é idêntico: \nabla\cdot\boldsymbol{H}=0 e \nabla\times\boldsymbol{H}=-\tfrac{1}{c}\,\partial\boldsymbol{E}/\partial t
implicam