Considere a seguinte integral:
\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d x d y
Determine uma fórmula geral para o cálculo da integral acima usando a regra dos trapézios.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação da integral dupla
\int_{a}^{b}\!\int_{c}^{d}f(x,y)\,dx\,dy
num retângulo [a,b]\times[c,d] usando a regra dos trapézios. Vamos precisar dividir cada intervalo em subintervalos uniformes e aplicar a regra dos trapézios em cada direção, obtendo uma soma de valores de f em uma grade de pontos com pesos adequados.

Passo 2

Dividimos [a,b] em m subintervalos de comprimento
h_x = \frac{b - a}{m},
com nós x_i = a + i\,h_x, i=0,1,\dots,m. De modo análogo, dividimos [c,d] em n subintervalos de comprimento
h_y = \frac{d - c}{n},
com nós y_j = c + j\,h_y, j=0,1,\dots,n.

Passo 3

Na regra dos trapézios unidimensional temos
\int_{a}^{b}g(x)\,dx\approx \frac{h_x}{2}\Bigl(g(x_0)+2\sum_{i=1}^{m-1}g(x_i)+g(x_m)\Bigr).
Para a integral dupla aplicamos primeiro sobre y para cada x_i, depois sobre x. O resultado é uma soma dupla em que cada f(x_i,y_j) recebe peso dependendo de i e j.

Passo 4

Definimos os pesos unidimensionais
\alpha_i = \begin{cases} \frac12, & i=0 \text{ ou } i=m,\\\\ 1, & 1\le i\le m-1, \end{cases} \qquad \beta_j = \begin{cases} \frac12, & j=0 \text{ ou } j=n,\\\\ 1, & 1\le j\le n-1. \end{cases}
Então a aproximação da integral dupla fica
\int_{a}^{b}\!\int_{c}^{d}f(x,y)\,dx\,dy \;\approx\; h_x\,h_y \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} \alpha_i\,\beta_j\, f\bigl(x_i,y_j\bigr).

Resposta

\boxed{ \int_{a}^{b}\!\int_{c}^{d}f(x,y)\,dx\,dy \approx h_x\,h_y \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} \alpha_i\,\beta_j\, f\bigl(a+i\,h_x,\;c+j\,h_y\bigr), }
com
h_x=\frac{b-a}{m},\quad h_y=\frac{d-c}{n},\quad \alpha_i=\begin{cases}\tfrac12&i=0\text{ ou }i=m,\\\ 1&\text{caso contrário,}\end{cases} \quad \beta_j=\begin{cases}\tfrac12&j=0\text{ ou }j=n,\\\ 1&\text{caso contrário.}\end{cases}áá

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