Q4.( 0.7 pt ) Considerando a curva y^3+y x^2+x^2-3 y^2=0, e P(1,1) sobre a curva, é correto:
(a) d yd x(P)=2
(b) d yd x(P)=-2
© d yd x(P)=12
(d) d yd x(P)=-12
(e) nenhuma das anteriores está correta

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita y^3+y x^2+x^2-3 y^2=0 e pede a derivada implícita tfracdydx no ponto P(1,1). Vamos usar diferenciação implícita.

Passo 2

Diferenciamos cada termo em relação a x, lembrando que y é função de x e aplicando regra da cadeia quando necessário. Assim temos:
ddx(y^3)=3y^2y',
ddx(y x^2)=x^2y'+2xy,
ddx(x^2)=2x,
ddx(-3y^2)=-6yy'
Somando todas as derivadas e igualando a zero:
$$
3y2y’+x2y’+2xy+2x-6yy’=0
$$

Passo 3

Agrupando os termos com y' e isolando:
y'(3y^2+x^2-6y)+2x(y+1)=0

Passo 4

y'=-2x(y+1)3y^2+x^2-6y

Passo 5

Substituindo x=1 e y=1: o numerador fica -2cdot1cdot(1+1)=-4 e o denominador 3cdot1^2+1^2-6cdot1=-2. Logo:
$$\frac{dy}{dx}§=-\frac{-4}{-2}=2
$$

Resposta

Alternativa (a): dydx(P)=2

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