Questão 1. Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se
é um operador ortogonal e
é a base canonica do
(munido do produto interno usual) entao
é uma base ortonormal do
Se
Passo 1
O enunciado apresenta um operador linear ortogonal T: ℝ²→ℝ² e pergunta se a imagem da base canônica C={e₁,e₂} pela transformação, ou seja {T e₁, T e₂}, forma uma base ortonormal de ℝ². Vamos usar conceitos de produto interno e operadores ortogonais.
Passo 2
Por definição, um operador T é ortogonal se e somente se preserva o produto interno. Ou seja, para quaisquer u,v∈ℝ² vale
Passo 3
Aplicando isso aos vetores da base canônica, como
e
, obtemos
para i=1,2, e
Logo os vetores T e₁ e T e₂ têm norma 1 e são mutuamente ortogonais, ou seja, são ortonormais.
Passo 4
Em ℝ², qualquer conjunto de dois vetores ortonormais é automaticamente uma base, pois são linearmente independentes e geram todo o espaço. Portanto {T e₁, T e₂} é de fato uma base ortonormal de ℝ².
Resposta
Verdadeiro.