Questão 1. Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Se T: R^2 R^2 é um operador ortogonal e R^2 é a base canonica do T e1, T e2 (munido do produto interno usual) entao R^2 é uma base ortonormal do

Passo 1

O enunciado apresenta um operador linear ortogonal T: ℝ²→ℝ² e pergunta se a imagem da base canônica C={e₁,e₂} pela transformação, ou seja {T e₁, T e₂}, forma uma base ortonormal de ℝ². Vamos usar conceitos de produto interno e operadores ortogonais.

Passo 2

Por definição, um operador T é ortogonal se e somente se preserva o produto interno. Ou seja, para quaisquer u,v∈ℝ² vale
lang<= T(u),T(v)rang<= =lang<= u,vrang<=

Passo 3

Aplicando isso aos vetores da base canônica, como lang<= ei,eirang<==1 e lang<= e1,e2rang<==0, obtemos
|T(ei)|^2=lang<= T(ei),T(ei)rang<==lang<= ei,eirang<==1
para i=1,2, e
lang<= T(e1),T(e2)rang<==lang<= e1,e2rang<==0
Logo os vetores T e₁ e T e₂ têm norma 1 e são mutuamente ortogonais, ou seja, são ortonormais.

Passo 4

Em ℝ², qualquer conjunto de dois vetores ortonormais é automaticamente uma base, pois são linearmente independentes e geram todo o espaço. Portanto {T e₁, T e₂} é de fato uma base ortonormal de ℝ².

Resposta

Verdadeiro.

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