Considerando a curva
sigma(t)=(2 tt^2+1, t^2-1t^2+1), t in R
resolva os itens abaixo:
(c) Calcule o comprimento dessa curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial. Isso está ligado ao estudo de curvas paramétricas e ao conceito de comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que define a curva:
sigma(t) = (2tt^2+1, t^2-1t^2+1)
Aqui, temos duas funções: x(t) = 2tt^2+1 e y(t) = t^2-1t^2+1 .

Passo 3

Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Como t varia em todos os números reais ( t in R ), vamos calcular a integral de t = -infty até t = +infty .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t :
  1. Derivada de x(t) :
dxdt = ddt(2tt^2+1) = 2(t^2+1) - 2t(2t)(t^2+1)^2 = 2 - 2t^2(t^2+1)^2
  1. Derivada de y(t) :
dydt = ddt(t^2-1t^2+1) = 2t(t^2+1) - (t^2-1)(2t)(t^2+1)^2 = 4t(t^2+1)^2

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral-infty^+infty raiz(2 - 2t^2(t^2+1)^2)^2 + (4t(t^2+1)^2)^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
raiz4(1 - t^2)^2 + 16t^2(t^2+1)^4 = raiz4(t^4 - 2t^2 + 1) + 16t^2(t^2+1)^4 = raiz4t^4 + 8t^2 + 4(t^2+1)^4 = 2t^2+1

Passo 6

Então, a integral do comprimento fica:
L = integral-infty^+infty 2t^2+1 , dt
Essa é uma integral conhecida que resulta em uma função arco-tangente.

Passo 7

Calculamos a integral:
L = 2 [ arctan(t) ]-infty^+infty = 2 ( pi2 - (-pi2) ) = 2pi

Resposta

O comprimento da curva é 2pi .

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