Considerando a curva
resolva os itens abaixo:
(c) Calcule o comprimento dessa curva.
(c) Calcule o comprimento dessa curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial. Isso está ligado ao estudo de curvas paramétricas e ao conceito de comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que define a curva:
Aqui, temos duas funções:
e
.
Passo 3
Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Como
varia em todos os números reais (
), vamos calcular a integral de
até
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Então, a integral do comprimento fica:
Essa é uma integral conhecida que resulta em uma função arco-tangente.
Passo 7
Calculamos a integral:
Resposta
O comprimento da curva é
.