Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
54. y=5 ln x, y=x ln x

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que as curvas
y = 5 ln x
e
y = x ln x
se interceptam. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que envolve:
1. Encontrar os pontos de interseção (resolvendo 5ln x = xln x).
2. Identificar qual curva está acima no intervalo entre esses pontos.
3. Montar a integral
integralx1^x2 l(curva superior - curva inferiorr),dx
e calculá-la.

Passo 2

Achemos as interseções resolvendo
5 ln x = x ln x
Se ln x = 0, então x=1. Se ln x neq 0, dividimos por ln x e obtemos 5 = x, i.e.\ x=5. Assim os pontos de interseção são x=1 e x=5. Em ambos, o valor de y é
y = 5ln x = xln x = 0 em x=1,
y = 5ln5 = 5ln5 em x=5

Passo 3

Para determinar quem está acima em 1<x<5, avaliamos em, digamos, x=2:
5ln2 approx 3,47, 2ln2 approx 1,39
Logo 5ln x > xln x nesse intervalo. Portanto a curva superior é y=5ln x e a inferior é y=xln x.

Passo 4

A área A é
A = integral1^5 l(5ln x - xln xr),dx = integral1^55ln x,dx ;-;integral1^5xln x,dx

Passo 5

Calculemos integral1^55ln x,dx. Usamos integral ln x,dx = xln x - x. Então
integral1^55ln x,dx = 5l[xln x - xr]1^5 = 5l[(5ln5 -5) - (1cdot0 -1)r] = 5l(5ln5 -5 +1r) = 25ln5 -20

Passo 6

Calculemos integral1^5xln x,dx por partes. Seja
u = ln x, dv = x,dx. Então du = tfrac1xdx, v = tfracx^22.
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - integral x2,dx = x^22ln x - x^24
Avaliando de 1 a 5:
gl[x^22ln x - x^24gr]1^5 = l(tfrac252ln5 - tfrac254r) - l(0 - tfrac14r) = 252ln5 - 254 + 14 = 252ln5 - 6

Passo 7

Substituindo em A:
A = l(25ln5 -20r) - l(tfrac252ln5 -6r) = 25ln5 -20 - 252ln5 +6 = 252ln5 -14

Resposta

boxedA = 252,ln 5 ;-; 14

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