Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
54.
54.
Passo 1
O enunciado pede a área da região em que as curvas
e
se interceptam. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que envolve:
. Encontrar os pontos de interseção (resolvendo
).
. Identificar qual curva está acima no intervalo entre esses pontos.
. Montar a integral
e calculá-la.
Passo 2
Achemos as interseções resolvendo
Se
, então
. Se
, dividimos por
e obtemos
, i.e.\
. Assim os pontos de interseção são
e
. Em ambos, o valor de
é
Passo 3
Para determinar quem está acima em
, avaliamos em, digamos,
:
Logo
nesse intervalo. Portanto a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
A área
é
Passo 5
Calculemos
. Usamos
. Então
Passo 6
Calculemos
por partes. Seja
,
. Então
,
.
Avaliando de
a
:
Passo 7
Substituindo em
: