Considerando os dados tabelados a seguir:
Calcule o valor da função
para
por meio do polinômio interpolador de Lagrange e de Newton (diferenças divididas);
Calcule o valor da função
X | Y |
---|---|
0 | 0.9 |
4 | 2.8 |
10 | 6 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor da função
para
usando dois métodos diferentes de interpolação: o polinômio interpolador de Lagrange e o de Newton (diferenças divididas). Para isso, vamos usar os dados tabelados fornecidos e entender como cada método funciona passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um polinômio interpolador. Basicamente, ele é uma curva que passa exatamente por todos os pontos dados na tabela. Existem diferentes maneiras de construir esse polinômio, e hoje vamos ver duas delas: Lagrange e Newton.
Passo 3
Vamos começar com o Polinômio Interpolador de Lagrange. A fórmula de Lagrange nos permite construir o polinômio diretamente a partir dos pontos conhecidos. A fórmula geral para três pontos é:
Passo 4
Vamos identificar nossos pontos:
-
, -
, -
,
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula de Lagrange, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 7
Agora, somamos todos os termos:
Passo 8
Então, pelo método de Lagrange, o valor de
é aproximadamente 3,4064.
Passo 9
Agora, vamos fazer o mesmo usando o Polinômio Interpolador de Newton com diferenças divididas. Esse método constrói o polinômio de forma incremental, calculando as diferenças divididas com base nos pontos dados.
Passo 10
Primeiro, organizamos os dados em uma tabela de diferenças divididas:
Passo 11
Calculando as diferenças:
- Primeira diferença dividida entre
e :
- Primeira diferença dividida entre
e :
- Segunda diferença dividida entre
e e e :
Passo 12
Com essas diferenças, podemos construir o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 13
Calculando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 14
Somando todos os termos:
Resposta
Portanto, o valor de
calculado pelos métodos de Lagrange e Newton é aproximadamente 3,4064.