Considerando os dados tabelados a seguir:
Calcule o valor da função f(X) para X=5,2 por meio do polinômio interpolador de Lagrange e de Newton (diferenças divididas);
X Y
0 0.9
4 2.8
10 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor da função f(X) para X = 5,2 usando dois métodos diferentes de interpolação: o polinômio interpolador de Lagrange e o de Newton (diferenças divididas). Para isso, vamos usar os dados tabelados fornecidos e entender como cada método funciona passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um polinômio interpolador. Basicamente, ele é uma curva que passa exatamente por todos os pontos dados na tabela. Existem diferentes maneiras de construir esse polinômio, e hoje vamos ver duas delas: Lagrange e Newton.

Passo 3

Vamos começar com o Polinômio Interpolador de Lagrange. A fórmula de Lagrange nos permite construir o polinômio diretamente a partir dos pontos conhecidos. A fórmula geral para três pontos é:
P(X) = Y0 cdot (X - X1)(X - X2)(X0 - X1)(X0 - X2) + Y1 cdot (X - X0)(X - X2)(X1 - X0)(X1 - X2) + Y2 cdot (X - X0)(X - X1)(X2 - X0)(X2 - X1)

Passo 4

Vamos identificar nossos pontos:
  • X0 = 0 , Y0 = 0.9
  • X1 = 4 , Y1 = 2.8
  • X2 = 10 , Y2 = 6

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula de Lagrange, temos:
P(5.2) = 0.9 cdot (5.2 - 4)(5.2 - 10)(0 - 4)(0 - 10) + 2.8 cdot (5.2 - 0)(5.2 - 10)(4 - 0)(4 - 10) + 6 cdot (5.2 - 0)(5.2 - 4)(10 - 0)(10 - 4)

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
0.9 cdot (5.2 - 4)(5.2 - 10)(0 - 4)(0 - 10) = 0.9 cdot 1.2 times (-4.8)(-4) times (-10) = 0.9 cdot -5.7640 = 0.9 cdot (-0.144) = -0.1296
  1. Segundo termo:
2.8 cdot (5.2 - 0)(5.2 - 10)(4 - 0)(4 - 10) = 2.8 cdot 5.2 times (-4.8)4 times (-6) = 2.8 cdot -24.96-24 = 2.8 cdot 1.04 = 2.912
  1. Terceiro termo:
6 cdot (5.2 - 0)(5.2 - 4)(10 - 0)(10 - 4) = 6 cdot 5.2 times 1.210 times 6 = 6 cdot 6.2460 = 6 cdot 0.104 = 0.624

Passo 7

Agora, somamos todos os termos:
P(5.2) = -0.1296 + 2.912 + 0.624 = 3.4064

Passo 8

Então, pelo método de Lagrange, o valor de f(5,2) é aproximadamente 3,4064.

Passo 9

Agora, vamos fazer o mesmo usando o Polinômio Interpolador de Newton com diferenças divididas. Esse método constrói o polinômio de forma incremental, calculando as diferenças divididas com base nos pontos dados.

Passo 10

Primeiro, organizamos os dados em uma tabela de diferenças divididas:

Passo 11

Calculando as diferenças:
  1. Primeira diferença dividida entre X0 e X1 :
f[X0, X1] = 2.8 - 0.94 - 0 = 0.475
  1. Primeira diferença dividida entre X1 e X2 :
f[X1, X2] = 6 - 2.810 - 4 = 0.5333
  1. Segunda diferença dividida entre X0 e X1 e X1 e X2 :
f[X0, X1, X2] = 0.5333 - 0.47510 - 0 = 0.00583

Passo 12

Com essas diferenças, podemos construir o polinômio de Newton:
P(X) = f[X0] + f[X0, X1](X - X0) + f[X0, X1, X2](X - X0)(X - X1)
Substituindo os valores:
P(5.2) = 0.9 + 0.475 cdot (5.2 - 0) + 0.00583 cdot (5.2 - 0)(5.2 - 4)

Passo 13

Calculando cada termo:
  1. Primeiro termo:
0.9
  1. Segundo termo:
0.475 cdot 5.2 = 2.47
  1. Terceiro termo:
0.00583 cdot 5.2 cdot 1.2 = 0.00583 cdot 6.24 = 0.0363

Passo 14

Somando todos os termos:
P(5.2) = 0.9 + 2.47 + 0.0363 = 3.4063

Resposta

Portanto, o valor de f(5,2) calculado pelos métodos de Lagrange e Newton é aproximadamente 3,4064.

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