Os valores da função f(x)=y são conhecidos nos pontos tabelados:
x f(x)
0 3.0000
0.225403330758517 2.8990
0.25 2.8760
0.5 2.5313
0.75 2.1123
1 2.0000
1.25 2.9268
1.5 6.0938
1.75 13.2881
1.77459666924148 14.3010
2 27.0000
Calcule o resultado da integral integral0^2 f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Simpson, 9 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é integral0^2 f(x) d x=343. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores da função f(x) nos pontos de x entre 0 e 2. Nosso objetivo é calcular a integral integral0^2 f(x) , dx usando o método de Simpson com 9 pontos. Depois, vamos comparar com o resultado exato que é 343 e ver qual é o erro relativo. Para isso, vamos precisar entender o método de Simpson e como aplicá-lo usando os dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral integral0^2 f(x) , dx . Basicamente, ela representa a área sob a curva de f(x) entre x = 0 e x = 2 . Como não temos a expressão exata de f(x) , vamos usar os valores da tabela para estimar essa área.

Passo 3

Agora, vamos falar do método de Simpson. Ele é uma técnica de integração numérica que aproxima a integral usando parábolas que passam por três pontos consecutivos da função. Quanto mais pontos usarmos, mais precisa será a estimativa. No nosso caso, vamos utilizar 9 pontos, o que significa que temos 8 intervalos (já que o número de intervalos é sempre o número de pontos menos um).

Passo 4

Para aplicar o método de Simpson com 9 pontos, precisamos calcular a largura de cada intervalo h . Como estamos indo de 0 a 2 e temos 8 intervalos, a largura h é:
h = 2 - 08 = 0.25

Passo 5

Agora, vamos organizar os pesos que serão aplicados aos valores de f(x) . No método de Simpson, a regra geral para os pesos é:
  • 1 para os extremos (primeiro e último pontos)
  • 4 para os pontos ímpares (segundo, quarto, etc.)
  • 2 para os pontos pares (terceiro, quinto, etc.)
Como temos 9 pontos, os pesos serão aplicados da seguinte forma:
Pesos = [1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 1]

Passo 6

Vamos multiplicar cada valor de pelo seu respectivo peso e somar todos esses valores. Com os valores da tabela:
No entanto, observando a tabela, parece que temos 11 pontos. Como o método de Simpson que requer número par de intervalos (n ímpar de pontos) e geralmente usa pares de subintervalos, ajustaremos para 9 pontos selecionando os mais próximos ou seguindo a divisão correta. Para simplificar, vamos considerar os 9 pontos principais:
Então, os pesos e pontos serão:

Passo 7

Vamos calcular a soma ponderada:
&1 times 3.0000 = 3.0000 &4 times 2.8990 = 11.5960 &2 times 2.8760 = 5.7520 &4 times 2.5313 = 10.1252 &2 times 2.1123 = 4.2246 &4 times 2.0000 = 8.0000 &2 times 2.9268 = 5.8536 &4 times 6.0938 = 24.3752 &1 times 13.2881 = 13.2881
Agora, somamos todos esses valores:
3.0000 + 11.5960 + 5.7520 + 10.1252 + 4.2246 + 8.0000 + 5.8536 + 24.3752 + 13.2881 = 90.9131

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula do método de Simpson:
integral0^2 f(x) , dx approx h3 times Soma ponderada
Substituindo os valores:
0.253 times 90.9131 approx 0.0833 times 90.9131 approx 7.5761

Passo 9

Agora, vamos calcular o erro relativo. Sabemos que o resultado exato é 343 approx 11.3333 . O erro relativo é calculado pela fórmula:
Erro relativo = | Valor aproximado - Valor exatoValor exato | times 100%
Substituindo os valores:
| 7.5761 - 11.333311.3333 | times 100% approx | -3.757211.3333 | times 100% approx 33.15%

Resposta

A integral integral0^2 f(x) , dx calculada pelo método de Simpson com 9 pontos é aproximadamente 7.5761 , apresentando um erro relativo de cerca de 33.15% em relação ao valor exato de 343 . Isso indica que, com os dados e método aplicados, a aproximação ficou abaixo do esperado, possivelmente devido à variação significativa dos valores de f(x) nos intervalos utilizados.

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