Os valores da função são conhecidos nos pontos tabelados:
x
0
3.0000
0.225403330758517
2.8990
0.25
2.8760
0.5
2.5313
0.75
2.1123
1
2.0000
1.25
2.9268
1.5
6.0938
1.75
13.2881
1.77459666924148
14.3010
2
27.0000
Calcule o resultado da integral utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Simpson, 9 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é . Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores da função nos pontos de entre 0 e 2. Nosso objetivo é calcular a integral usando o método de Simpson com 9 pontos. Depois, vamos comparar com o resultado exato que é e ver qual é o erro relativo. Para isso, vamos precisar entender o método de Simpson e como aplicá-lo usando os dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral . Basicamente, ela representa a área sob a curva de entre e . Como não temos a expressão exata de , vamos usar os valores da tabela para estimar essa área.
Passo 3
Agora, vamos falar do método de Simpson. Ele é uma técnica de integração numérica que aproxima a integral usando parábolas que passam por três pontos consecutivos da função. Quanto mais pontos usarmos, mais precisa será a estimativa. No nosso caso, vamos utilizar 9 pontos, o que significa que temos 8 intervalos (já que o número de intervalos é sempre o número de pontos menos um).
Passo 4
Para aplicar o método de Simpson com 9 pontos, precisamos calcular a largura de cada intervalo . Como estamos indo de 0 a 2 e temos 8 intervalos, a largura é:
Passo 5
Agora, vamos organizar os pesos que serão aplicados aos valores de . No método de Simpson, a regra geral para os pesos é:
1 para os extremos (primeiro e último pontos)
4 para os pontos ímpares (segundo, quarto, etc.)
2 para os pontos pares (terceiro, quinto, etc.)
Como temos 9 pontos, os pesos serão aplicados da seguinte forma:
Passo 6
Vamos multiplicar cada valor de pelo seu respectivo peso e somar todos esses valores. Com os valores da tabela:
No entanto, observando a tabela, parece que temos 11 pontos. Como o método de Simpson que requer número par de intervalos (n ímpar de pontos) e geralmente usa pares de subintervalos, ajustaremos para 9 pontos selecionando os mais próximos ou seguindo a divisão correta. Para simplificar, vamos considerar os 9 pontos principais:
Então, os pesos e pontos serão:
Passo 7
Vamos calcular a soma ponderada:
Agora, somamos todos esses valores:
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula do método de Simpson:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, vamos calcular o erro relativo. Sabemos que o resultado exato é . O erro relativo é calculado pela fórmula:
Substituindo os valores:
| 7.5761 - 11.333311.3333 | times 100% approx | -3.757211.3333 | times 100% approx 33.15%
Resposta
A integral integral0^2 f(x) , dx calculada pelo método de Simpson com 9 pontos é aproximadamente 7.5761 , apresentando um erro relativo de cerca de 33.15% em relação ao valor exato de 343 . Isso indica que, com os dados e método aplicados, a aproximação ficou abaixo do esperado, possivelmente devido à variação significativa dos valores de f(x) nos intervalos utilizados.