Estude as assíntotas e esboce o gráfico da função
Passo 1
Vamos estudar as assíntotas e esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, identificando assíntotas verticais e horizontais. Precisamos analisar o denominador e o numerador da função para encontrar esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais, que acontecem onde o denominador é igual a zero (já que a função não está definida nesses pontos). Então, vamos resolver:
Portanto, as assíntotas verticais estão em
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais, que dependem do comportamento da função quando
tende ao infinito. Observamos que o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de grau 2). Nesse caso, a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Assim:
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
Vamos simplificar a função para facilitar o esboço do gráfico. Podemos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Podemos cancelar o fator
, desde que
:
Passo 5
Agora, identificamos que em
, a função tinha uma assíntota vertical, mas após o cancelamento, temos um ponto removível. Isso significa que a função tem um ponto de descontinuidade removível em
.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
, a função não está definida (assíntota vertical).
Além disso, sabemos que a função tende a
quando
vai para
.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntotas verticais em
e (sendo que em é removível). - Assíntota horizontal em
. - Ponto no eixo y em
. - Ponto no eixo x em
.
O gráfico terá duas ramificações, uma para
e outra para
, aproximando-se das assíntotas conforme
aumenta ou diminui.
Resposta
As assíntotas da função
são verticais em
e
, e horizontal em
. O esboço do gráfico inclui esses elementos e os pontos calculados, mostrando duas ramificações que se aproximam das assíntotas conforme
varia.