Estude as assíntotas e esboce o gráfico da função f(x)=x^2-6 x+5x^2-1

Passo 1

Vamos estudar as assíntotas e esboçar o gráfico da função f(x) = x^2 - 6x + 5x^2 - 1 . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, identificando assíntotas verticais e horizontais. Precisamos analisar o denominador e o numerador da função para encontrar esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais, que acontecem onde o denominador é igual a zero (já que a função não está definida nesses pontos). Então, vamos resolver:
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = pm 1
Portanto, as assíntotas verticais estão em x = 1 e x = -1 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais, que dependem do comportamento da função quando x tende ao infinito. Observamos que o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de grau 2). Nesse caso, a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Assim:
Assíntota horizontal: y = 11 = 1 í
Então, temos uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 4

Vamos simplificar a função para facilitar o esboço do gráfico. Podemos fatorar o numerador:
x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)
Então, a função fica:
f(x) = (x - 1)(x - 5)(x - 1)(x + 1)
Podemos cancelar o fator (x - 1) , desde que x neq 1 :
f(x) = x - 5x + 1 para x neq 1

Passo 5

Agora, identificamos que em x = 1 , a função tinha uma assíntota vertical, mas após o cancelamento, temos um ponto removível. Isso significa que a função tem um ponto de descontinuidade removível em x = 1 .

Passo 6

Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos:
  • Quando x = 0 :
f(0) = 0 - 50 + 1 = -5
  • Quando x = 5 :
f(5) = 5 - 55 + 1 = 0
  • Quando x = -1 , a função não está definida (assíntota vertical).
Além disso, sabemos que a função tende a y = 1 quando x vai para pm infty .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntotas verticais em x = -1 e x = 1 (sendo que em x = 1 é removível).
  • Assíntota horizontal em y = 1 .
  • Ponto no eixo y em (0, -5) .
  • Ponto no eixo x em (5, 0) .
O gráfico terá duas ramificações, uma para x > 1 e outra para x < -1 , aproximando-se das assíntotas conforme x aumenta ou diminui.

Resposta

As assíntotas da função f(x) = x^2 - 6x + 5x^2 - 1 são verticais em x = -1 e x = 1 , e horizontal em y = 1 . O esboço do gráfico inclui esses elementos e os pontos calculados, mostrando duas ramificações que se aproximam das assíntotas conforme x varia.

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