Considerando os dados tabelados a seguir:
Determine os coeficientes (a0, a1, a2, ldots, an) do polinômio interpolador na forma canônica: Pn(X)=a0+a1 X+a2 X^2+ldots+an X^n
X Y
0 0.9
4 2.8
10 6

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três pontos (X, Y) e precisamos encontrar os coeficientes a0, a1, a2 de um polinômio interpolador na forma canônica:
P2(X) = a0 + a1X + a2X^2
Para isso, vamos utilizar a interpolação polinomial, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, identificamos quantos pontos temos. Aqui, temos três pontos:
(0, 0.9), (4, 2.8), (10, 6)
Como temos três pontos, o polinômio interpolador será de grau 2 (já que com n+1 pontos, o grau é n). Assim, nosso polinômio será:
P2(X) = a0 + a1X + a2X^2

Passo 3

Agora, vamos substituir cada par (X, Y) na equação do polinômio para formar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar os coeficientes.
Para o ponto (0, 0.9):
0.9 = a0 + a1(0) + a2(0)^2 implies 0.9 = a0
Já encontramos que a0 = 0.9.

Passo 4

Em seguida, para o ponto (4, 2.8):
2.8 = 0.9 + a1(4) + a2(4)^2
2.8 = 0.9 + 4a1 + 16a2
Subtraindo 0.9 de ambos os lados:
2.8 - 0.9 = 4a1 + 16a2 implies 1.9 = 4a1 + 16a2

Passo 5

Por último, para o ponto (10, 6):
6 = 0.9 + a1(10) + a2(10)^2
6 = 0.9 + 10a1 + 100a2
Subtraindo 0.9 de ambos os lados:
6 - 0.9 = 10a1 + 100a2 implies 5.1 = 10a1 + 100a2

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas a1 e a2:
4a1 + 16a2 = 1.9 10a1 + 100a2 = 5.1
Vamos resolver esse sistema usando o método da combinação.

Passo 7

Multiplicamos a primeira equação por 2.5 para alinhar os coeficientes de a1:
2.5 times (4a1 + 16a2) = 2.5 times 1.9 implies 10a1 + 40a2 = 4.75
Agora, o sistema fica:
10a1 + 40a2 = 4.75 10a1 + 100a2 = 5.1

Passo 8

Subtraindo a primeira equação modificada da segunda:
(10a1 + 100a2) - (10a1 + 40a2) = 5.1 - 4.75
60a2 = 0.35
a2 = 0.3560 approx 0.005833

Passo 9

Agora, substituímos a2 na primeira equação original para encontrar a1:
4a1 + 16(0.005833) = 1.9
4a1 + 0.09333 approx 1.9
4a1 approx 1.80667
a1 approx 1.806674 approx 0.451667

Resposta

Os coeficientes do polinômio interpolador são:
a0 = 0.9, a1 approx 0.451667, a2 approx 0.005833

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