Considerando os dados tabelados a seguir:
Determine os coeficientes do polinômio interpolador na forma canônica:
X
Y
0
0.9
4
2.8
10
6
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três pontos e precisamos encontrar os coeficientes de um polinômio interpolador na forma canônica:
Para isso, vamos utilizar a interpolação polinomial, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, identificamos quantos pontos temos. Aqui, temos três pontos:
Como temos três pontos, o polinômio interpolador será de grau 2 (já que com pontos, o grau é ). Assim, nosso polinômio será:
Passo 3
Agora, vamos substituir cada par na equação do polinômio para formar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar os coeficientes.
Para o ponto :
Já encontramos que .
Passo 4
Em seguida, para o ponto :
Subtraindo 0.9 de ambos os lados:
Passo 5
Por último, para o ponto :
Subtraindo 0.9 de ambos os lados:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e :
Vamos resolver esse sistema usando o método da combinação.
Passo 7
Multiplicamos a primeira equação por 2.5 para alinhar os coeficientes de a1:
2.5 times (4a1 + 16a2) = 2.5 times 1.9 implies 10a1 + 40a2 = 4.75
Agora, o sistema fica:
10a1 + 40a2 = 4.75 10a1 + 100a2 = 5.1
Passo 8
Subtraindo a primeira equação modificada da segunda:
(10a1 + 100a2) - (10a1 + 40a2) = 5.1 - 4.75
60a2 = 0.35
a2 = 0.3560 approx 0.005833
Passo 9
Agora, substituímos a2 na primeira equação original para encontrar a1: