Considerando a definição acima, encontre uma equação da reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:
Definição: Seja
uma função derivável em
. A reta que passa por
e que é perpendicular à reta tangente é chamada de reta normal ao gráfico de
em
. Se
, a equação da reta normal no ponto
será
Se
, a equação da reta normal em
será
.
Definição: Seja
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva $ y = x^{4} + 2e^{x} $ no ponto $ P = (0, 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que estão na matéria de Cálculo Diferencial. Precisamos calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e depois usar essa informação para encontrar a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^{4} + 2e^{x} $. A derivada vai nos dar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de $ x^{4} $ é $ 4x^{3} $ e a derivada de $ 2e^{x} $ é $ 2e^{x} $. Então, a derivada da função completa é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada no ponto $ x = 0 $, que é onde a gente quer a reta tangente e a reta normal. Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto $ P = (0, 2) $ é 2.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente, podemos agora escrever a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta é:
Substituindo $ p = 0 $, $ f§ = 2 $ e $ f’§ = 2 $:
Então, a equação da reta tangente é $ y = 2x + 2 $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente e passa pelo mesmo ponto $ P = (0, 2) $. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos a fórmula:
Já sabemos que $ f’(0) = 2 $, então:
Agora, usamos a fórmula da reta novamente com essa inclinação:
Portanto, a equação da reta normal é $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $.
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 2x + 2 $ e a equação da reta normal é $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $.