Considerando a definição acima, encontre uma equação da reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:
y=x^4+2 e^x, P=(0,2)
Definição: Seja f uma função derivável em p. A reta que passa por (p, f(p)) e que é perpendicular à reta tangente é chamada de reta normal ao gráfico de f em (p, f(p)). Se f^prime(p) neq 0, a equação da reta normal no ponto (p, f(p)) será
y-f(p)=-1f^prime(p)(x-p)
Se f^prime(p)=0, a equação da reta normal em (p, f(p)) será x=p.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva $ y = x^{4} + 2e^{x} $ no ponto $ P = (0, 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que estão na matéria de Cálculo Diferencial. Precisamos calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e depois usar essa informação para encontrar a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^{4} + 2e^{x} $. A derivada vai nos dar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de $ x^{4} $ é $ 4x^{3} $ e a derivada de $ 2e^{x} $ é $ 2e^{x} $. Então, a derivada da função completa é:
f(x) = x^4 + 2e^x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada no ponto $ x = 0 $, que é onde a gente quer a reta tangente e a reta normal. Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
x = 0
Então, a inclinação da reta tangente no ponto $ P = (0, 2) $ é 2.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente, podemos agora escrever a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta é:
y - f(p) = f'(p)(x - p)
Substituindo $ p = 0 $, $ f§ = 2 $ e $ f’§ = 2 $:
p = 0
Então, a equação da reta tangente é $ y = 2x + 2 $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente e passa pelo mesmo ponto $ P = (0, 2) $. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos a fórmula:
P = (0, 2) çã
Já sabemos que $ f’(0) = 2 $, então:
Inclinação da reta normal = -1f'(p) çã
Agora, usamos a fórmula da reta novamente com essa inclinação:
f'(0) = 2
Portanto, a equação da reta normal é $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $.

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 2x + 2 $ e a equação da reta normal é $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $.

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