Exercício 3. Calcule as integrais duplas abaixo.
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Passo 1

Estamos com a integral dupla integraly=0^3integralx=y^2^9ycos(x^2),dx,dy. O conteúdo aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas e uso de substituição em integrais simples.

Passo 2

A região de integração D no plano (x,y) é dada por 0<= y<=3 e y^2<= x<=9. Se invertermos a ordem, vemos que x vai de 0 a 9 e, para cada x, y varia de 0 a raizx. Trocando a ordem obtemos
integralx=0^9integraly=0^raizxycos(x^2),dy,dx

Passo 3

Dentro dessa integral, calculamos primeiro
integraly=0^raizxy,dy=y^22|0^raizx=x2
Então a integral vira
integral0^9x2cos(x^2),dx=12integral0^9xcos(x^2),dx

Passo 4

Para resolver integral xcos(x^2),dx fazemos a substituição u=x^2, du=2x,dx, logo x,dx=du/2. Os limites vão de u(0)=0 a u(9)=81. Assim
12integral0^9xcos(x^2),dx=12cdot12integral0^81cos(u),du=14l[sin(u)r]0^81=sin(81)4

Resposta

sin(81)4

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