Considerando a đefinição de média e a v.a., X dadas em 2, mostre algebricamente e numericamente que sumj=1^n(xj-barX)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos, de forma algébrica e numérica, que a soma das diferenças entre cada valor $ x_j $ e a média $ \bar{X} $ é igual a zero. Estamos trabalhando com médias e variáveis aleatórias (v.a.). Para isso, vamos precisar entender o que é média e como calcular essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de média. A média $ \bar{X} $ de um conjunto de valores $ x_1, x_2, \dots, x_n $ é dada por:
barX
Agora, queremos calcular a soma das diferenças entre cada $ x_j $ e a média $ \bar{X} $:
x1, x2, dots, xn
Vamos desenvolver essa expressão:
barX = 1n sumj=1^n xj
Como $ \bar{X} $ é a média e é constante para todos os termos da soma, podemos simplificar a segunda soma:
xj
Então, a expressão fica:
barX
Mas, pelo definição da média:
sumj=1^n ( xj - barX )
Substituindo na expressão:
sumj=1^n xj - sumj=1^n barX
Portanto, mostramos algebricamente que:
barX

Passo 3

Vamos verificar isso com um exemplo numérico. Suponha que temos os seguintes valores para $ x_j $:
xj
Primeiro, calculamos a média $ \bar{X} $:
x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6
Agora, calculamos cada $ x_j - \bar{X} $:
barX
barX = 2 + 4 + 63 = 123 = 4
xj - barX
Somando essas diferenças:
x1 - barX = 2 - 4 = -2
Assim, numericamente confirmamos que:
x2 - barX = 4 - 4 = 0

Resposta

Mostramos, tanto algebricamente quanto com um exemplo numérico, que a soma das diferenças entre cada valor $ x_j $ e a média $ \bar{X} $ é igual a zero:
xj

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