Considerando a đefinição de média e a v.a., X dadas em 2, mostre algebricamente e numericamente que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos, de forma algébrica e numérica, que a soma das diferenças entre cada valor $ x_j $ e a média $ \bar{X} $ é igual a zero. Estamos trabalhando com médias e variáveis aleatórias (v.a.). Para isso, vamos precisar entender o que é média e como calcular essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de média. A média $ \bar{X} $ de um conjunto de valores $ x_1, x_2, \dots, x_n $ é dada por:
Agora, queremos calcular a soma das diferenças entre cada $ x_j $ e a média $ \bar{X} $:
Vamos desenvolver essa expressão:
Como $ \bar{X} $ é a média e é constante para todos os termos da soma, podemos simplificar a segunda soma:
Então, a expressão fica:
Mas, pelo definição da média:
Substituindo na expressão:
Portanto, mostramos algebricamente que:
Passo 3
Vamos verificar isso com um exemplo numérico. Suponha que temos os seguintes valores para $ x_j $:
Primeiro, calculamos a média $ \bar{X} $:
Agora, calculamos cada $ x_j - \bar{X} $:
Somando essas diferenças:
Assim, numericamente confirmamos que:
Resposta
Mostramos, tanto algebricamente quanto com um exemplo numérico, que a soma das diferenças entre cada valor $ x_j $ e a média $ \bar{X} $ é igual a zero: