Considerando desastres naturais, erupções vulcânicas estão entre as catástrofes mais difíceis de se prever. No entanto, é possível realizar estimativas razoáveis do tempo em que a lava pode atingir determinado local, dada a ocorrência de uma erupção. A relação entre a distância y (em quilômetros) percorrida pela lava e o tempo t (em horas) é dada pela equação: y=19 \cdot(1,68-0,89 t).
Existe uma vila na base da montanha a uma distância de \mathrm{y}=17. A defesa civil advertiu os moradores que a lava atingiria suas casas em menos de 13 horas.
Utilizando o método de Newton-Rapshon, calcule o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a vila. Considere como critério de parada no máximo 3 iterações e utilize pelo menos 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre distância e tempo:
y = 19\cdot(1,68 - 0,89\,t),
onde y está em quilômetros e t em horas. Foi informado que a vila fica a y=17 (quilômetros). A Defesa Civil alertou que a lava atingiria a vila em menos de 13 horas.
O que o problema pede:
  • Calcular o instante de tempo t em que a lava atinge a vila (ou seja, resolver a equação com y=17);
  • Usar o método de Newton–Raphson;
  • Fazer no máximo 3 iterações e fornecer o resultado com pelo menos 4 casas decimais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função dada é y(t)=19\cdot(1,68-0,89\,t).
  • O ponto alvo é y=17.
  • Critério: aplicar Newton–Raphson até, no máximo, 3 iterações; apresentar pelo menos 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação a ser resolvida como uma equação de raiz. Queremos t tal que y(t)=17. Definimos a função
f(t) = y(t)-17 = 19\cdot(1,68-0,89\,t) - 17.
Agora simplificamos os termos constantes passo a passo:
19\cdot 1,68 = 31,92,
19\cdot 0,89 = 16,91.
Portanto
f(t) = 31,92 - 16,91\,t - 17 = 14,92 - 16,91\,t.
A raiz da função f(t) é o tempo procurado (quando f(t)=0).

Passo 3

Explicando o método de Newton–Raphson (NR), bem devagar:
  • Objetivo do NR: encontrar t tal que f(t)=0.
  • Fórmula de iteração do NR:
t_{n+1} = t_n - \frac{f(t_n)}{f'(t_n)}.
Aqui t_n é a aproximação atual, f(t_n) é o valor da função nessa aproximação, e f'(t_n) é a derivada da função naquele ponto. A ideia é usar a reta tangente a f em t_n para estimar onde ela corta o eixo t.
Calculamos a derivada de f. Como f(t)=14,92-16,91\,t é linear, sua derivada é constante:
f'(t) = -16,91 \quad\text{para todo }t.

Passo 4

Escolha do palpite inicial t_0: como a função é linear e a derivada é constante, o método NR convergirá numa só iteração para a solução exata (isso acontece porque a aproximação pela reta tangente é a função mesma). Mesmo assim vamos escolher um palpite simples e natural, por exemplo
t_0 = 0\\ \text{h}.
(Isto é conveniente para calcular manualmente; qualquer outro palpite também funcionaria.)

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Newton–Raphson uma vez e fazemos as contas detalhadas.
Usando a fórmula:
t_{1} = t_0 - \frac{f(t_0)}{f'(t_0)}.
Calculamos f(t_0) e f'(t_0):
f(t_0)=f(0)=14,92-16,91\cdot 0 = 14,92,
f'(t_0)=-16,91.
Substituindo:
t_{1} = 0 - \frac{14,92}{-16,91} = \frac{14,92}{16,91}.
Portanto a iteração dá diretamente a solução exata (como já anunciado, porque f é linear). Vamos escrever a fração em forma decimal com precisão:
A fração é
t^\ast = \frac{14,92}{16,91} = \frac{1492}{1691}.
Fazendo a divisão manual (detalhes resumidos):
  • 1691\cdot 8823 = 14\,919\,693 (colocando vírgula depois de três algarismos para facilitar a conta em escala de 10^{-4});
  • Restou 14\,920\,000 - 14\,919\,693 = 307 na escala usada, o que gera o dígito seguinte 1.
    Isso dá os primeiros dígitos decimais 0,88231\ldots. Assim, com as casas pedidas:
t^\ast \approx 0,8823\\ \text{h} \quad(\text{arredondado a 4 casas decimais}).

Passo 6

Para cumprir a exigência “no máximo 3 iterações”, mostramos as iterações 2 e 3; como a solução já é exata depois da primeira iteração, as próximas não mudam o valor:
Usando t_1=\dfrac{14,92}{16,91},
f(t_1)=14,92-16,91\cdot\frac{14,92}{16,91}=14,92-14,92=0,
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t_2 = t_1 - \frac{f(t_1)}{f'(t_1)} = t_1 - \frac{0}{-16,91} = t_1.
E o mesmo vale para t_3. Ou seja, após a primeira iteração já temos convergência exata; as iterações 2 e 3 só confirmam que não há alteração.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o tempo calculado é aproximadamente 0,8823\\ \text{h}, isto é cerca de 0,8823\times 60 \approx 52,94 minutos — menos de 1 hora. Isso confirma que a lava alcançaria a vila muito antes das 13 horas avisadas pela Defesa Civil (o aviso era que seria em menos de 13 horas, então está de acordo).
Força aí — você conseguiu chegar no resultado pelo NR em uma iteração porque a função é linear; isso é um bom atestado de que entendeu o método. Se quiser, eu mostro o cálculo em minutos ou faço uma versão com outro palpite inicial só para treinar as iterações manualmente.

Resposta

t \approx 0,8823\\ \text{h}

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