Considerando desastres naturais, erupções vulcânicas estão entre as catástrofes mais difíceis de se prever. No entanto, é possível realizar estimativas razoáveis do tempo em que a lava pode atingir determinado local, dada a ocorrência de uma erupção. A relação entre a distância y (em quilômetros) percorrida pela lava e o tempo t (em horas) é dada pela equação:
.
Existe uma vila na base da montanha a uma distância de
. A defesa civil advertiu os moradores que a lava atingiria suas casas em menos de 13 horas.
Utilizando o método de Newton-Rapshon, calcule o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a vila. Considere como critério de parada no máximo 3 iterações e utilize pelo menos 4 casas decimais.
Existe uma vila na base da montanha a uma distância de
Utilizando o método de Newton-Rapshon, calcule o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a vila. Considere como critério de parada no máximo 3 iterações e utilize pelo menos 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação entre distância e tempo:
onde
está em quilômetros e
em horas. Foi informado que a vila fica a
(quilômetros). A Defesa Civil alertou que a lava atingiria a vila em menos de 13 horas.
O que o problema pede:
- Calcular o instante de tempo
em que a lava atinge a vila (ou seja, resolver a equação com ); - Usar o método de Newton–Raphson;
- Fazer no máximo 3 iterações e fornecer o resultado com pelo menos 4 casas decimais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função dada é
. - O ponto alvo é
. - Critério: aplicar Newton–Raphson até, no máximo, 3 iterações; apresentar pelo menos 4 casas decimais.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação a ser resolvida como uma equação de raiz. Queremos
tal que
. Definimos a função
Agora simplificamos os termos constantes passo a passo:
Portanto
A raiz da função
é o tempo procurado (quando
).
Passo 3
Explicando o método de Newton–Raphson (NR), bem devagar:
- Objetivo do NR: encontrar
tal que . - Fórmula de iteração do NR:
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor da função nessa aproximação, e
é a derivada da função naquele ponto. A ideia é usar a reta tangente a
em
para estimar onde ela corta o eixo
.
Calculamos a derivada de
. Como
é linear, sua derivada é constante:
Passo 4
Escolha do palpite inicial
: como a função é linear e a derivada é constante, o método NR convergirá numa só iteração para a solução exata (isso acontece porque a aproximação pela reta tangente é a função mesma). Mesmo assim vamos escolher um palpite simples e natural, por exemplo
(Isto é conveniente para calcular manualmente; qualquer outro palpite também funcionaria.)
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Newton–Raphson uma vez e fazemos as contas detalhadas.
Usando a fórmula:
Calculamos
e
:
Substituindo:
Portanto a iteração dá diretamente a solução exata (como já anunciado, porque
é linear). Vamos escrever a fração em forma decimal com precisão:
A fração é
Fazendo a divisão manual (detalhes resumidos):
-
(colocando vírgula depois de três algarismos para facilitar a conta em escala de ); - Restou
na escala usada, o que gera o dígito seguinte .
Isso dá os primeiros dígitos decimais. Assim, com as casas pedidas:
Passo 6
Para cumprir a exigência “no máximo 3 iterações”, mostramos as iterações 2 e 3; como a solução já é exata depois da primeira iteração, as próximas não mudam o valor:
Usando
,
logo
E o mesmo vale para
. Ou seja, após a primeira iteração já temos convergência exata; as iterações 2 e 3 só confirmam que não há alteração.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: o tempo calculado é aproximadamente
, isto é cerca de
minutos — menos de 1 hora. Isso confirma que a lava alcançaria a vila muito antes das 13 horas avisadas pela Defesa Civil (o aviso era que seria em menos de 13 horas, então está de acordo).
Força aí — você conseguiu chegar no resultado pelo NR em uma iteração porque a função é linear; isso é um bom atestado de que entendeu o método. Se quiser, eu mostro o cálculo em minutos ou faço uma versão com outro palpite inicial só para treinar as iterações manualmente.