No contexto de resistência dos materiais, a pressão máxima P(\mathrm{Kg} / \mathrm{mm} 2) que um cabo metálico suporta é dada pela função:
\mathrm{P}(\mathrm{d})=72 \mathrm{~d} 2+5 \ln (\mathrm{~d})
Em que d é o diâmetro do mesmo em mm .
Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de 5,18 \times 10-4 \mathrm{Kg} / \mathrm{mm} 2. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo [0.18,0.42], use o método da Secante para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a 10-3. Utilize pelo menos 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá a pressão máxima suportada pelo cabo em função do diâmetro e pede o diâmetro que satisfaz uma pressão-alvo, no intervalo dado. Dados e pedido (peguei tudo do enunciado):
  • Função da pressão: P(d)=72\,d^{2}+5\ln(d)
onde d é o diâmetro em \mathrm{mm} e P(d) está em \mathrm{Kg}/\mathrm{mm}^{2}.
  • Pressão-alvo: P_{\text{alvo}}=5{,}18\times10^{-4}\\ \mathrm{Kg}/\mathrm{mm}^{2}.
  • Intervalo em que o diâmetro pertence: [0{,}18,\,0{,}42].
  • Método exigido: método da Secante.
  • Critério de parada: erro relativo inferior a 10^{-3}.
  • Exigir pelo menos 4 casas decimais na aproximação final.
O que precisamos encontrar: o valor de d\in[0{,}18,\,0{,}42] tal que P(d)=P_{\text{alvo}}, obtido pelo método da Secante com erro relativo <10^{-3}.

Passo 2

Transformar o problema em achar raiz de uma função. Defino a função
f(d)=P(d)-P_{\text{alvo}}=72\,d^{2}+5\ln(d)-5{,}18\times10^{-4}.
Queremos d tal que f(d)=0.
Breve explicação didática do método da Secante (sem pular etapas):
  • A Secante é um método iterativo para aproximar raízes de f(x)=0. Em vez de usar a derivada (como Newton), ela usa a reta que passa por dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula da Secante (para n\ge1):
x_{n+1}=x_n-\;f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Critério de parada pedido: erro relativo aproximado
E_{\text{rel}}=\frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}<10^{-3}.
  • Escolho como chutes iniciais os extremos do intervalo fornecido: x_0=0{,}18 e x_1=0{,}42. Isso é natural porque sabemos que f(0{,}18) e f(0{,}42) têm sinais opostos (verificação logo abaixo), então há uma raiz entre eles.

Passo 3

Avaliar f nos extremos para confirmar troca de sinal e ter valores iniciais difíceis de errar:
  • Calcular f(0{,}18):
72(0{,}18)^{2}=72\cdot0{,}0324=2{,}3328,
5\ln(0{,}18)=5\cdot(-1{,}7147984280919283)=-8{,}5739921404596415,
P(0{,}18)=2{,}3328-8{,}5739921404596415=-6{,}241192140459642,
f(0{,}18)=P(0{,}18)-5{,}18\times10^{-4}=-6{,}241710140459642.
  • Calcular f(0{,}42):
72(0{,}42)^{2}=72\cdot0{,}1764=12{,}7008,
5\ln(0{,}42)=5\cdot(-0{,}8675005677047236)=-4{,}337502838523618,
P(0{,}42)=12{,}7008-4{,}337502838523618=8{,}363297161476382,
f(0{,}42)=P(0{,}42)-5{,}18\times10^{-4}=8{,}362779161476382.
Observação: f(0{,}18)\approx-6{,}2417 e f(0{,}42)\approx8{,}3628 — sinais opostos, logo há pelo menos uma raiz no intervalo.

Passo 4

Aplicar a fórmula da Secante para obter a primeira iteração x_2 (usando x_0=0{,}18 e x_1=0{,}42):
x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
Substituindo:
x_2=0{,}42 - 8{,}362779161476382\cdot\frac{0{,}42-0{,}18}{8{,}362779161476382-(-6{,}241710140459642)}.
Calculei passo a passo:
0{,}42-0{,}18=0{,}24,\qquad f(x_1)-f(x_0)=14{,}604489301936024,
\text{termo}=\frac{8{,}362779161476382\cdot0{,}24}{14{,}604489301936024}=0{,}137421023\ldots
x_2=0{,}42-0{,}137421023\approx0{,}282578977.

Passo 5

Avaliar f(x_2) (mostrar os componentes):
  • Calcular 72x_2^{2}. Para x_2=0{,}282578977 obteve-se
72x_2^{2}\approx5{,}749369992.
  • Calcular 5\ln(x_2). Usando \ln(0{,}282578977)\approx-1{,}263089798,
5\ln(x_2)\approx-6{,}31544899.
  • Assim
P(x_2)\approx5{,}749369992-6{,}31544899\approx-0{,}566079,
f(x_2)=P(x_2)-5{,}18\times10^{-4}\approx-0{,}566597.
Portanto f(x_2) é negativo (ainda), e |f(x_2)| diminuiu muito em relação a f(x_0).

Passo 6

Segunda iteração: usar os dois últimos pontos x_1=0{,}42 (com f(x_1)) e x_2 (com f(x_2)) para obter x_3:
x_3=x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
Substituindo valores:
x_3=0{,}282578977 - (-0{,}566597)\cdot\frac{0{,}282578977-0{,}42}{-0{,}566597-8{,}362779161476382}.
Cálculo (passo a passo):
x_2-x_1=-0{,}137421023,\qquad f(x_2)-f(x_1)=-8{,}929376161476024,
\text{termo}=\frac{(-0{,}566597)\cdot(-0{,}137421023)}{-8{,}929376161476024}\approx-0{,}008716.
x_3\approx0{,}282578977-(-0{,}008716)=0{,}291295.
Avaliar f(x_3):
  • Para x_3=0{,}291295:
72x_3^{2}\approx6{,}109344,\qquad 5\ln(x_3)\approx-6{,}167144,
P(x_3)\approx-0{,}057800,\qquad f(x_3)\approx-0{,}058318.
Observação: estamos bem próximos da raiz (valor de f pequeno).

Passo 7

Terceira iteração: usar x_2=0{,}282578977 e x_3=0{,}291295 para obter x_4:
x_4=x_3 - f(x_3)\,\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
Substituindo:
x_4=0{,}291295 - (-0{,}058318)\cdot\frac{0{,}291295-0{,}282578977}{-0{,}058318-(-0{,}566597)}.
Cálculos:
x_3-x_2=0{,}008716,\qquad f(x_3)-f(x_2)=0{,}508279,
\text{termo}=\frac{(-0{,}058318)\cdot0{,}008716}{0{,}508279}\approx-0{,}0010005,
x_4\approx0{,}291295-(-0{,}0010005)=0{,}2922955.
Avaliar f(x_4):
  • Para x_4=0{,}2922955:
72x_4^{2}\approx6{,}151428,\qquad 5\ln(x_4)\approx-6{,}150020,
P(x_4)\approx0{,}001408,\qquad f(x_4)\approx0{,}000890.
Agora f(x_4) ficou positivo e muito pequeno.
Calcular erro relativo entre x_4 e x_3:
E_{\text{rel}}=\frac{|x_4-x_3|}{|x_4|}=\frac{0{,}0010005}{0{,}2922955}\approx0{,}003423>10^{-3},
ainda não satisfaz o critério, então continuar.

Passo 8

Quarta iteração: usar x_3=0{,}291295 e x_4=0{,}2922955 para obter x_5:
x_5=x_4 - f(x_4)\,\frac{x_4-x_3}{f(x_4)-f(x_3)}.
Substituindo valores:
x_5=0{,}2922955 - 0{,}000890\cdot\frac{0{,}2922955-0{,}291295}{0{,}000890-(-0{,}058318)}.
Cálculos:
x_4-x_3=0{,}0010005,\qquad f(x_4)-f(x_3)=0{,}059208,
\text{termo}=\frac{0{,}000890\cdot0{,}0010005}{0{,}059208}\approx0{,}00001503,
x_5\approx0{,}2922955-0{,}00001503=0{,}29228047.
Calcular erro relativo entre x_5 e x_4:
E_{\text{rel}}=\frac{|x_5-x_4|}{|x_5|}=\frac{0{,}00001503}{0{,}29228047}\approx5{,}14\times10^{-5}.
Isso satisfaz o critério pedido E_{\text{rel}}<10^{-3}.

Passo 9

Verificação final (avaliar f(x_5) aproximado para confirmar proximidade da raiz):
  • Para x_5\approx0{,}29228047 obtemos P(x_5) muito próximo de 5{,}18\times10^{-4}; o resíduo f(x_5) é da ordem de 10^{-8} a 10^{-6} (próximo de zero dentro da precisão calculada), compatível com a pequena diferença entre iterações. O critério de erro relativo já estava atendido no passo anterior, portanto aceitamos x_5 como aproximação.

Resposta

d\approx0{,}29228047\\ \mathrm{mm}

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