No contexto de resistência dos materiais, a pressão máxima
que um cabo metálico suporta é dada pela função:
Em que d é o diâmetro do mesmo em mm .
Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de
. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo
, use o método da Secante para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a 10-3. Utilize pelo menos 4 casas decimais.
Em que d é o diâmetro do mesmo em mm .
Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de
Passo 1
O enunciado dá a pressão máxima suportada pelo cabo em função do diâmetro e pede o diâmetro que satisfaz uma pressão-alvo, no intervalo dado. Dados e pedido (peguei tudo do enunciado):
- Função da pressão:
onde
é o diâmetro em
e
está em
.
- Pressão-alvo:
- Intervalo em que o diâmetro pertence:
. - Método exigido: método da Secante.
- Critério de parada: erro relativo inferior a
. - Exigir pelo menos 4 casas decimais na aproximação final.
O que precisamos encontrar: o valor de
tal que
, obtido pelo método da Secante com erro relativo
.
Passo 2
Transformar o problema em achar raiz de uma função. Defino a função
Queremos
tal que
.
Breve explicação didática do método da Secante (sem pular etapas):
- A Secante é um método iterativo para aproximar raízes de
. Em vez de usar a derivada (como Newton), ela usa a reta que passa por dois pontos e e toma a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação . - Fórmula da Secante (para
):
- Critério de parada pedido: erro relativo aproximado
- Escolho como chutes iniciais os extremos do intervalo fornecido:
e . Isso é natural porque sabemos que e têm sinais opostos (verificação logo abaixo), então há uma raiz entre eles.
Passo 3
Avaliar
nos extremos para confirmar troca de sinal e ter valores iniciais difíceis de errar:
- Calcular
:
- Calcular
:
Observação:
e
— sinais opostos, logo há pelo menos uma raiz no intervalo.
Passo 4
Aplicar a fórmula da Secante para obter a primeira iteração
(usando
e
):
Substituindo:
Calculei passo a passo:
Passo 5
Avaliar
(mostrar os componentes):
- Calcular
. Para obteve-se
- Calcular
. Usando ,
- Assim
Portanto
é negativo (ainda), e
diminuiu muito em relação a
.
Passo 6
Segunda iteração: usar os dois últimos pontos
(com
) e
(com
) para obter
:
Substituindo valores:
Cálculo (passo a passo):
Avaliar
:
- Para
:
Observação: estamos bem próximos da raiz (valor de
pequeno).
Passo 7
Terceira iteração: usar
e
para obter
:
Substituindo:
Cálculos:
Avaliar
:
- Para
:
Agora
ficou positivo e muito pequeno.
Calcular erro relativo entre
e
:
ainda não satisfaz o critério, então continuar.
Passo 8
Quarta iteração: usar
e
para obter
:
Substituindo valores:
Cálculos:
Calcular erro relativo entre
e
:
Isso satisfaz o critério pedido
.
Passo 9
Verificação final (avaliar
aproximado para confirmar proximidade da raiz):
- Para
obtemos muito próximo de ; o resíduo é da ordem de a (próximo de zero dentro da precisão calculada), compatível com a pequena diferença entre iterações. O critério de erro relativo já estava atendido no passo anterior, portanto aceitamos como aproximação.