Considerando os dígitos 1,2,3,4 e 5 , quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados?

Passo 1

O enunciado nos dá os dígitos 1,2,3,4,5 e pede quantos números de dois algarismos com algarismos distintos podem ser formados. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O conjunto de dígitos disponíveis é \{1,2,3,4,5\}.
  • Cada número a formar tem exatamente duas posições: casa das dezenas e casa das unidades.
  • Os algarismos das duas posições devem ser distintos (ou seja, não é permitido repetir o mesmo dígito nas duas casas).
  • Não há o dígito 0 entre os disponíveis, então não há problema de “número com zero à esquerda”.

Passo 2

Ideia de contagem (Princípio fundamental da contagem): se uma escolha pode ser feita de a maneiras e, após essa escolha, outra independente pode ser feita de b maneiras, então o número total de maneiras de fazer as duas escolhas em sequência é a\cdot b.
Aqui as duas escolhas são:
  1. Escolher o dígito das dezenas.
  2. Escolher o dígito das unidades, lembrando que deve ser distinto do dígito já escolhido para as dezenas.
Quantas opções há para a casa das dezenas? As opções são os cinco dígitos disponíveis, logo há 5 escolhas para a dezena.
Depois de escolher a dezena, quantas opções restam para a unidade? Como o algarismo da unidade deve ser distinto, resta um conjunto com 4 dígitos possíveis. Assim há 4 escolhas para a unidade.
Aplicando o princípio da contagem, o total de números possíveis é
5\cdot 4=20.

Passo 3

Outra forma formal de ver isso é usando permutações sem repetição. O número de maneiras de escolher e ordenar 2 elementos distintos a partir de 5 é dado por
P(5,2)=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}.
Calculemos:
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120, \qquad 3!=3\cdot2\cdot1=6,
logo
P(5,2)=\frac{120}{6}=20.
Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 4

Para fixar a ideia, podemos listar todos os 20 números formados (cada número escrito como \text{dezena}\,\text{unidade}):
12,\;13,\;14,\;15,
21,\;23,\;24,\;25,
31,\;32,\;34,\;35,
41,\;42,\;43,\;45,
51,\;52,\;53,\;54.
Contando-os verifica-se que são exatamente 20 números distintos.

Passo 5

Resumo didático final: escolheu-se primeiro a dezena ( 5 opções) e depois a unidade sem repetir ( 4 opções). Multiplicando as escolhas obtem-se o total. Se tivesse sido permitido repetir algarismos, o total seria 5\cdot5=25; como não é permitido, o total cai para 20. Vai dar certo na prova — respira, repete o raciocínio e treina mais uns exemplos parecidos!

Resposta

20

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