Considerando os dígitos
e 5 , quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados?
Passo 1
O enunciado nos dá os dígitos
e pede quantos números de dois algarismos com algarismos distintos podem ser formados. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O conjunto de dígitos disponíveis é
. - Cada número a formar tem exatamente duas posições: casa das dezenas e casa das unidades.
- Os algarismos das duas posições devem ser distintos (ou seja, não é permitido repetir o mesmo dígito nas duas casas).
- Não há o dígito
entre os disponíveis, então não há problema de “número com zero à esquerda”.
Passo 2
Ideia de contagem (Princípio fundamental da contagem): se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, após essa escolha, outra independente pode ser feita de
maneiras, então o número total de maneiras de fazer as duas escolhas em sequência é
.
Aqui as duas escolhas são:
- Escolher o dígito das dezenas.
- Escolher o dígito das unidades, lembrando que deve ser distinto do dígito já escolhido para as dezenas.
Quantas opções há para a casa das dezenas? As opções são os cinco dígitos disponíveis, logo há
escolhas para a dezena.
Depois de escolher a dezena, quantas opções restam para a unidade? Como o algarismo da unidade deve ser distinto, resta um conjunto com
dígitos possíveis. Assim há
escolhas para a unidade.
Aplicando o princípio da contagem, o total de números possíveis é
Passo 3
Outra forma formal de ver isso é usando permutações sem repetição. O número de maneiras de escolher e ordenar
elementos distintos a partir de
é dado por
Calculemos:
logo
Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 4
Para fixar a ideia, podemos listar todos os
números formados (cada número escrito como
):
Contando-os verifica-se que são exatamente
números distintos.
Passo 5
Resumo didático final: escolheu-se primeiro a dezena (
opções) e depois a unidade sem repetir (
opções). Multiplicando as escolhas obtem-se o total. Se tivesse sido permitido repetir algarismos, o total seria
; como não é permitido, o total cai para
. Vai dar certo na prova — respira, repete o raciocínio e treina mais uns exemplos parecidos!