[ / 2,5 ] Seja \gamma uma curva fechada de classe C^{1} contida no plano x z. Dada uma porção de superfície regular S de classe C^{1} tal que \partial S=\gamma (ou seja, a fronteira de S é \gamma ), prove que o fluxo do rotacional do campo
\vec{F}(x, y, z)=(x \cos y+2 z) \vec{i}+y e^{z} \vec{j}+\left(y^{2} z^{2}+x\right) \vec{k},através de S independe da escolha dessa superfície.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há uma curva fechada \gamma de classe C^{1} contida no plano x z (ou seja, em y=0).
  • Existe uma porção de superfície regular S de classe C^{1} tal que \partial S=\gamma.
  • O campo vetorial é
\vec{F}(x,y,z)=(x\cos y+2z)\,\vec{i}+y e^{z}\,\vec{j}+(y^{2}z^{2}+x)\,\vec{k}.
  • O que se pede: provar que o fluxo do rotacional de \vec{F} através de S independe da escolha de S. Em outras palavras, mostrar que o valor
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS
depende apenas de \gamma e não da superfície S escolhida com \partial S=\gamma.

Passo 2

Primeiro vamos verificar que podemos aplicar as ferramentas do cálculo vetorial: os componentes de \vec{F} são combinações de funções elementares ( \cos y, e^{z}, polinômios) e, portanto, \vec{F} é de classe C^{\infty} em todo \mathbb{R}^{3}. Isso garante que \nabla\times\vec{F} e \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F}) estão bem definidos e são contínuos — condição necessária para usar os teoremas do cálculo vetorial que vamos empregar.

Passo 3

Calculemos explicitamente o rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembrando a definição em coordenadas cartesianas, se \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) então
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
Aplicando isso a \vec{F}:
  • F_{1}(x,y,z)=x\cos y+2z.
  • F_{2}(x,y,z)=y e^{z}.
  • F_{3}(x,y,z)=y^{2}z^{2}+x.
Calcule termo a termo:
  • Primeira componente:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=2y z^{2},\qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=y e^{z},
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(\nabla\times\vec{F})_{1}=2y z^{2}-y e^{z}=y(2z^{2}-e^{z}).
  • Segunda componente:
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=2,\qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=1,
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(\nabla\times\vec{F})_{2}=2-1=1.
  • Terceira componente:
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=-x\sin y,
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(\nabla\times\vec{F})_{3}=0-(-x\sin y)=x\sin y.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\bigl(y(2z^{2}-e^{z}),\;1,\;x\sin y\bigr).

Passo 4

Agora exponho a ideia principal (teorema que usarei) de maneira didática e intuitiva: o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície S orientada e de classe C^{1} com fronteira suave \partial S, e para um campo \vec{F} suficientemente suave, vale
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Isto é, o fluxo do rotacional através de S é igual à circulação de \vec{F} ao longo da curva \partial S. A circulação do lado direito depende apenas da curva \partial S (e da orientação escolhida ao percorrê-la) e não da superfície escolhida para preencher essa curva. Logo, sempre que for possível aplicar o Teorema de Stokes, o fluxo do rotacional através de S depende apenas de \gamma=\partial S, e não de S.
Devemos checar hipóteses: já vimos que \vec{F} é C^{1} (na verdade C^{\infty}), S é regular C^{1} e \gamma é C^{1}. Assim as hipóteses do Teorema de Stokes estão satisfeitas e podemos aplicá-lo.

Passo 5

Aplicando diretamente o Teorema de Stokes obtemos, para qualquer superfície S de classe C^{1} com \partial S=\gamma,
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
O lado direito é uma integral de linha ao longo da curva fixa \gamma e, por isso, é o mesmo para qualquer superfície S que tenha \gamma como fronteira (desde que a orientação de \gamma seja a compatível com a normal escolhida em S). Concluímos assim que o fluxo do rotacional através de S independe da escolha de S: ele é igual à circulação de \vec{F} em \gamma.

Passo 6

Para consolidar a intuição, mostro também uma prova alternativa clássica (útil em provas): sejam S_{1} e S_{2} duas superfícies regulares com \partial S_{1}=\partial S_{2}=\gamma. Juntando S_{1} e S_{2} (com orientação apropriada) obtém-se uma superfície fechada \Sigma=S_{1}\cup(-S_{2}) que delimita um volume V. Pela linearidade do fluxo,
\iint_{S_{1}}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS-\iint_{S_{2}}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{\Sigma}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Pelo Teorema da Divergência (Gauss) essa integral de fluxo sobre a superfície fechada vale o volume da divergência:
\iint_{\Sigma}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})\,dV.
Mas há uma identidade vetorial básica que diz \nabla\cdot(\nabla\times\vec{G})=0 para qualquer campo \vec{G} suficientemente regular. Aplicando-a a \vec{F} (e verificando rapidamente com o cálculo que aqui \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0), obtemos que o volume integral é zero. Logo a diferença entre os fluxos é zero, ou seja, os fluxos através de S_{1} e S_{2} são iguais. Isso mostra, alternativamente, a independência da superfície.

Passo 7

Resumo final em linguagem amigável: por Stokes, o fluxo de \nabla\times\vec{F} através de qualquer superfície S com fronteira \gamma é exatamente a circulação de \vec{F} em \gamma, que só depende de \gamma. Assim o fluxo independe da escolha da superfície S. Se preferir outra visão, a identidade \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0 e o Teorema da Divergência levam à mesma conclusão comparando duas superfícies com a mesma fronteira.

Resposta

O fluxo de \nabla\times\vec{F} através de S independe da escolha da superfície S (depende apenas da curva \gamma=\partial S).

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