[
] Seja
uma curva fechada de classe
contida no plano
. Dada uma porção de superfície regular
de classe
tal que
(ou seja, a fronteira de
é
), prove que o fluxo do rotacional do campo
através de
independe da escolha dessa superfície.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há uma curva fechada
de classe contida no plano (ou seja, em ). - Existe uma porção de superfície regular
de classe tal que . - O campo vetorial é
- O que se pede: provar que o fluxo do rotacional de
através de independe da escolha de . Em outras palavras, mostrar que o valor
depende apenas de
e não da superfície
escolhida com
.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que podemos aplicar as ferramentas do cálculo vetorial: os componentes de
são combinações de funções elementares (
,
, polinômios) e, portanto,
é de classe
em todo
. Isso garante que
e
estão bem definidos e são contínuos — condição necessária para usar os teoremas do cálculo vetorial que vamos empregar.
Passo 3
Calculemos explicitamente o rotacional
. Lembrando a definição em coordenadas cartesianas, se
então
Aplicando isso a
:
-
. -
. -
.
Calcule termo a termo:
- Primeira componente:
logo
- Segunda componente:
logo
- Terceira componente:
logo
Portanto
Passo 4
Agora exponho a ideia principal (teorema que usarei) de maneira didática e intuitiva: o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície
orientada e de classe
com fronteira suave
, e para um campo
suficientemente suave, vale
Isto é, o fluxo do rotacional através de
é igual à circulação de
ao longo da curva
. A circulação do lado direito depende apenas da curva
(e da orientação escolhida ao percorrê-la) e não da superfície escolhida para preencher essa curva. Logo, sempre que for possível aplicar o Teorema de Stokes, o fluxo do rotacional através de
depende apenas de
, e não de
.
Devemos checar hipóteses: já vimos que
é
(na verdade
),
é regular
e
é
. Assim as hipóteses do Teorema de Stokes estão satisfeitas e podemos aplicá-lo.
Passo 5
Aplicando diretamente o Teorema de Stokes obtemos, para qualquer superfície
de classe
com
,
O lado direito é uma integral de linha ao longo da curva fixa
e, por isso, é o mesmo para qualquer superfície
que tenha
como fronteira (desde que a orientação de
seja a compatível com a normal escolhida em
). Concluímos assim que o fluxo do rotacional através de
independe da escolha de
: ele é igual à circulação de
em
.
Passo 6
Para consolidar a intuição, mostro também uma prova alternativa clássica (útil em provas): sejam
e
duas superfícies regulares com
. Juntando
e
(com orientação apropriada) obtém-se uma superfície fechada
que delimita um volume
. Pela linearidade do fluxo,
Pelo Teorema da Divergência (Gauss) essa integral de fluxo sobre a superfície fechada vale o volume da divergência:
Mas há uma identidade vetorial básica que diz
para qualquer campo
suficientemente regular. Aplicando-a a
(e verificando rapidamente com o cálculo que aqui
), obtemos que o volume integral é zero. Logo a diferença entre os fluxos é zero, ou seja, os fluxos através de
e
são iguais. Isso mostra, alternativamente, a independência da superfície.
Passo 7
Resumo final em linguagem amigável: por Stokes, o fluxo de
através de qualquer superfície
com fronteira
é exatamente a circulação de
em
, que só depende de
. Assim o fluxo independe da escolha da superfície
. Se preferir outra visão, a identidade
e o Teorema da Divergência levam à mesma conclusão comparando duas superfícies com a mesma fronteira.
Resposta
O fluxo de
através de
independe da escolha da superfície
(depende apenas da curva
).