Derive:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dada a função
o enunciado pede a derivada de
em relação a
, ou seja
.
- Informação disponível: a expressão explícita de
em termos de . Não há outros dados necessários.
Passo 2
Vamos organizar a função em camadas (isso ajuda a aplicar as regras de derivação sem erro). Definimos funções intermediárias:
-
(a parte mais interna), -
(a camada do cosseno), -
(a potência 5 por cima do cosseno).
Assim podemos ver
como uma composição de três funções:
Passo 3
Lembrete da regra que vamos usar (explicação didática): a regra da cadeia diz que a derivada de uma composição é o produto das derivadas das camadas, avaliadas nas posições corretas. Mais precisamente, para
vale
Se houver três camadas, isso se itera:
Explicando com um exemplo simples: para
, pense em
e
; então
. A ideia é sempre “derivar a camada de fora mantendo o resto igual, e multiplicar pela derivada da camada interior”.
Passo 4
Derivada da camada externa
:
- Regra usada: regra da potência. Para
, tem-se . - Aplicando com
:
Aqui
corresponde a
, portanto, simbolicamente,
.
Passo 5
Derivada da camada do meio
:
- Regra usada: derivada do cosseno. Para
, tem-se . - Então
.
Passo 6
Derivada da camada interna
:
- Regra usada: soma e potência (derivada de
é ; derivada de é ). - Logo
Passo 7
Agora aplicamos a regra da cadeia em forma geral (já apresentada no Passo 3). Substituindo as derivadas das camadas:
Onde:
-
, -
, -
.
Multiplicando essas expressões (manter a substituição
e
) produz a expressão final para a derivada, que está na seção