Derive:
y=\cos ^{5}\left(x^{2}+x\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a função y=\cos^{5}\!\left(x^{2}+x\right),
o enunciado pede a derivada de y em relação a x, ou seja y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Informação disponível: a expressão explícita de y em termos de x. Não há outros dados necessários.

Passo 2

Vamos organizar a função em camadas (isso ajuda a aplicar as regras de derivação sem erro). Definimos funções intermediárias:
  • u(x)=x^{2}+x (a parte mais interna),
  • v(u)=\cos u (a camada do cosseno),
  • f(v)=v^{5} (a potência 5 por cima do cosseno).
Assim podemos ver y como uma composição de três funções:
y = f\big(v(u(x))\big).

Passo 3

Lembrete da regra que vamos usar (explicação didática): a regra da cadeia diz que a derivada de uma composição é o produto das derivadas das camadas, avaliadas nas posições corretas. Mais precisamente, para y=f(g(x)) vale
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Se houver três camadas, isso se itera:
\frac{d}{dx}f\big(v(u(x))\big)=f'\big(v(u(x))\big)\cdot v'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando com um exemplo simples: para h(x)=(\sin x)^{3}, pense em f(t)=t^{3} e g(x)=\sin x; então h'(x)=3(\sin x)^{2}\cdot\cos x. A ideia é sempre “derivar a camada de fora mantendo o resto igual, e multiplicar pela derivada da camada interior”.

Passo 4

Derivada da camada externa f(v)=v^{5}:
  • Regra usada: regra da potência. Para f(t)=t^{n}, tem-se f'(t)=n t^{n-1}.
  • Aplicando com n=5: f'(t)=5t^{4}.
Aqui t corresponde a v, portanto, simbolicamente, f'(v)=5v^{4}.

Passo 5

Derivada da camada do meio v(u)=\cos u:
  • Regra usada: derivada do cosseno. Para v(u)=\cos u, tem-se v'(u)=-\sin u.
  • Então v'(u)=-\sin u.

Passo 6

Derivada da camada interna u(x)=x^{2}+x:
  • Regra usada: soma e potência (derivada de x^{2} é 2x; derivada de x é 1).
  • Logo u'(x)=2x+1.

Passo 7

Agora aplicamos a regra da cadeia em forma geral (já apresentada no Passo 3). Substituindo as derivadas das camadas:
\frac{dy}{dx}=f'\big(v(u(x))\big)\cdot v'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Onde:
  • f'(v)=5v^{4},
  • v'(u)=-\sin u,
  • u'(x)=2x+1.
Multiplicando essas expressões (manter a substituição v=\cos u e u=x^{2}+x) produz a expressão final para a derivada, que está na seção

Resposta

-5\,(2x+1)\,\cos^{4}\!\left(x^{2}+x\right)\,\sin\!\left(x^{2}+x\right)

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