Considerando a distribuição abaixo:
x_{i} 3 4 5 6 7 8
f_{i} 4 8 11 10 8 3
calcule:
a média;

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequência com os pares \,x_{i} e \,f_{i} abaixo e pede para calcular a média:
\begin{array}{c|c} x_{i} & f_{i} \\\ \hline 3 & 4 \\\\ 4 & 8 \\\\ 5 & 11 \\\\ 6 & 10 \\\\ 7 & 8 \\\\ 8 & 3 \end{array}
Pergunta explícita: calcular a média da distribuição (a média aritmética ponderada pelos f_i).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da média para uma distribuição com valores x_i e frequências f_i. A média amostral (ou média ponderada) é dada por:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_{i}x_{i}}{\sum_{i} f_{i}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média que queremos encontrar.
  • \sum_{i} f_{i}x_{i} significa somar, para cada linha, o produto da frequência pelo valor (isso é o total “pesoado” dos valores).
  • \sum_{i} f_{i} é a soma de todas as frequências (o total de observações).
    Essa fórmula faz sentido porque a média é o “valor total acumulado” dividido pelo “número total de observações”.

Passo 3

Calcular cada produto f_{i}x_{i} (vou fazer um por um para você poder conferir e reproduzir na prova sem calculadora):
f_{1}x_{1}=4\cdot 3=12
f_{2}x_{2}=8\cdot 4=32
f_{3}x_{3}=11\cdot 5=55
f_{4}x_{4}=10\cdot 6=60
f_{5}x_{5}=8\cdot 7=56
f_{6}x_{6}=3\cdot 8=24
Esses são os termos que vamos somar para formar o numerador da fórmula.

Passo 4

Somar as frequências para obter o denominador:
\sum_{i} f_{i}=4+8+11+10+8+3.
Fazendo as contas passo a passo:
4+8=12,\quad 12+11=23,\quad 23+10=33,\quad 33+8=41,\quad 41+3=44.
Logo \sum_{i} f_{i}=44.
Somar os produtos para o numerador:
\sum_{i} f_{i}x_{i}=12+32+55+60+56+24.
Fazendo em etapas:
12+32=44,\quad 44+55=99,\quad 99+60=159,\quad 159+56=215,\quad 215+24=239.
Logo \sum_{i} f_{i}x_{i}=239.

Passo 5

Substituindo na fórmula da média:
\bar{x}=\frac{239}{44}.
Verificamos se a fração pode ser simplificada: \gcd(239,44)=1, então a fração está irredutível. Essa já é a forma exata da média.

Passo 6

Se você precisar da forma decimal (sem calculadora dá para obter fazendo divisão longa manualmente), vou mostrar os primeiros passos da divisão de \,239 por \,44 para obter uma aproximação:
Dividindo:
44\\ \big)\\\ 239
44 cabe 5 vezes em 239 porque 5\cdot 44=220. Subtraindo, sobra resto 19. Então a parte inteira é 5 e começamos a parte decimal com resto 19.
Agora trazemos zeros e continuamos:
19\to190:\quad 190\div44=4\) resto \(14\) (dado \(4\cdot44=176\)) \[ 14\to140:\quad 140\div44=3\) resto \(8\) (dado \(3\cdot44=132\)) \[ 8\to80:\quad 80\div44=1\) resto \(36\) (dado \(1\cdot44=44\)) \[ 36\to360:\quad 360\div44=8\) resto \(8\) (dado \(8\cdot44=352\))
Aqui o resto 8 voltou a aparecer, então a sequência de dígitos na casa decimal vai entrar em repetição a partir desse ponto com o bloco 18 repetindo. Portanto a expansão decimal é
\frac{239}{44}=5{,}4318\overline{18}=5{,}43\overline{18}.
Se quiser uma aproximação truncada/arreondada para quatro casas decimais: 5{,}4318 (ou para duas casas: 5{,}43).]

Resposta

\bar{x}=\dfrac{239}{44}=5{,}43\overline{18}

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