Considerando a distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right), calcule as probabilidades para cada caso:
Com X \sim N(48,25), calcule P(X \leq 52), P(X \geq 59,7), P(38,6 \leq X<52,2).
Encontre k tal que P(X \leq k)=0,975.

Passo 1

O enunciado considera X\sim N(48,25) (ou seja, média \mu=48 e variância \sigma^2=25, logo desvio padrão \sigma=5) e pede:
\displaystyle P(X\le52)
\displaystyle P(X\ge59,7)
\displaystyle P(38,6\le X<52,2)
– encontrar k tal que \displaystyle P(X\le k)=0,975.
Vamos usar a padronização em Z\sim N(0,1) e tabelas (ou calculadora) da normal padrão.

Passo 2

Definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-48}{5}
Logo para qualquer valor a:
P(X\le a)=P\Bigl(Z\le\frac{a-48}{5}\Bigr)=\Phi\Bigl(\frac{a-48}{5}\Bigr),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 3

Para \displaystyle P(X\le52):
\frac{52-48}{5}=0,8,
então
P(X\le52)=\Phi(0,8)\approx0,7881.

Passo 4

Para \displaystyle P(X\ge59,7) usamos
P(X\ge59,7)=1-P(X<59,7)=1-\Phi\Bigl(\frac{59,7-48}{5}\Bigr).
Calculamos
\frac{59,7-48}{5}=2,34,
logo
P(X\ge59,7)=1-\Phi(2,34)\approx1-0,9904=0,0096.

Passo 5

Para \displaystyle P(38,6\le X<52,2) escrevemos
P(38,6\le X<52,2) =\Phi\Bigl(\tfrac{52,2-48}{5}\Bigr)-\Phi\Bigl(\tfrac{38,6-48}{5}\Bigr).
Temos
\tfrac{52,2-48}{5}=0,84, \quad \tfrac{38,6-48}{5}=-1,88,
portanto
P(38,6\le X<52,2) =\Phi(0,84)-\Phi(-1,88) =0,7995-(1-0,9699) =0,7995-0,0301 =0,7694.

Passo 6

Para achar k tal que P(X\le k)=0,975 usamos o quantil da normal padrão:
\Phi(z_{0,975})=0,975\implies z_{0,975}\approx1,96.
Então
k=\mu+z_{0,975}\,\sigma =48+1,96\cdot5 =48+9,8 =57,8.

Resposta

P(X\le52)\approx0,7881 P(X\ge59,7)\approx0,0096 P(38,6\le X<52,2)\approx0,7694 k\approx57,8

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