Considerando a distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right), calcule as probabilidades para cada caso:
Com X \sim N(250,144), calcule P(221 \leq X<270), P(X \leq 221).
Encontre k tal que P(|X-250| \leq k)=0,90.

Passo 1

O enunciado dá uma variável X com distribuição normal de média \mu=250 e variância \sigma^2=144, ou seja, desvio-padrão \sigma=12. Precisamos calcular
  1. P(221 \le X<270),
  2. P(X\le221),
  3. encontrar k tal que P\bigl(|X-250|\le k\bigr)=0,90.

Passo 2

Para transformar em uma normal padrão usamos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-250}{12}\,.
No caso de P(221\le X<270) definimos
z_1=\frac{221-250}{12}=-\frac{29}{12}\approx -2,417, \qquad z_2=\frac{270-250}{12}=\frac{20}{12}\approx1,667.

Passo 3

A probabilidade pede
P(221\le X<270) = P\bigl(z_1\le Z<z_2\bigr) = \Phi(1,667)-\Phi(-2,417).
Usando a simetria \Phi(-2,417)=1-\Phi(2,417) e tabelas: \Phi(1,667)\approx0,9525, \Phi(2,417)\approx0,9922, então
P(221\le X<270) =0,9525 - \bigl(1-0,9922\bigr) =0,9525 - 0,0078 =0,9447.

Passo 4

Para P(X\le221) basta
P(X\le221)=P\bigl(Z\le -2,417\bigr)=\Phi(-2,417)=1-\Phi(2,417)\approx1-0,9922=0,0078.

Passo 5

Queremos P(|X-250|\le k)=0,90. Como a normal é simétrica,
P(-k\le X-250\le k)=0,90 \quad\Longrightarrow\quad P\Bigl(-\frac{k}{12}\le Z\le \frac{k}{12}\Bigr)=0,90.
Isso deixa \frac{k}{12}=z_{0,95}, onde z_{0,95}\approx1,645. Logo
k=1,645\times12\approx19,74.

Resposta

P(221\le X<270)\approx0,9447 P(X\le221)\approx0,0078 k\approx19,74

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