4^{\mathrm{a}} Questão: Mostre que a integral de linha \int_{C}(2 x \ln y-y z) d x+\left(\frac{x^{2}}{y}-x z\right) d y-(x y) d z independe do caminho, em seguida, calcule a integral de (1,2,1) a ( 2,1,1 )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
\int_C (2x\ln y - y z)\,dx \;+\;\Bigl(\frac{x^2}{y}-xz\Bigr)\,dy \;-\;(xy)\,dz
é independente do caminho em um domínio adequado, e em seguida calcular o seu valor entre os pontos (1,2,1) e (2,1,1). O conteúdo principal é verificar que a forma diferencial é exata (ou fechada num domínio simplesmente conexo) e então encontrar uma primitiva.

Passo 2

Defina
P(x,y,z)=2x\ln y - y z,\quad Q(x,y,z)=\frac{x^2}{y}-xz,\quad R(x,y,z)=-xy.
Para a forma P\,dx + Q\,dy + R\,dz ser exata, devemos ter
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Calculando:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2x}{y}-z, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{2x}{y}-z,
\frac{\partial P}{\partial z}=-y, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=-y,
\frac{\partial Q}{\partial z}=-x, \quad \frac{\partial R}{\partial y}=-x.
Como todas as igualdades conferem, a forma é fechada.

Passo 3

O domínio natural de definição é \{(x,y,z)\mid y>0\}, que é aberto e simplesmente conexo. Numa região assim, forma fechada implica forma exata, logo a integral independe do caminho.

Passo 4

Para achar a primitiva F(x,y,z), integramos P em x:
F(x,y,z)=\int (2x\ln y - y z)\,dx = x^2\ln y - x\,y\,z + h(y,z).
Depois impomos
\frac{\partial F}{\partial y} =\frac{x^2}{y}-xz + \frac{\partial h}{\partial y} \overset!=Q=\frac{x^2}{y}-xz \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=0\;\Rightarrow\;h=h(z).
Em seguida
\frac{\partial F}{\partial z} =-xy + h'(z) \overset!=R=-xy \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0.
Podemos então escolher
F(x,y,z)=x^2\ln y - x\,y\,z.

Passo 5

O valor da integral de A=(1,2,1) a B=(2,1,1) é
F(B)-F(A) =\bigl[2^2\ln(1)-2\cdot1\cdot1\bigr] -\bigl[1^2\ln(2)-1\cdot2\cdot1\bigr] =(0-2)-(\ln2-2) =-\ln2.

Resposta

-\ln2

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