Questão: Mostre que a integral de linha
independe do caminho, em seguida, calcule a integral de
a (
)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho em um domínio adequado, e em seguida calcular o seu valor entre os pontos
e
. O conteúdo principal é verificar que a forma diferencial é exata (ou fechada num domínio simplesmente conexo) e então encontrar uma primitiva.
Passo 2
Defina
Para a forma
ser exata, devemos ter
Calculando:
Como todas as igualdades conferem, a forma é fechada.
Passo 3
O domínio natural de definição é
, que é aberto e simplesmente conexo. Numa região assim, forma fechada implica forma exata, logo a integral independe do caminho.
Passo 4
Para achar a primitiva
, integramos
em
:
Depois impomos
Em seguida
Podemos então escolher
Passo 5
O valor da integral de
a
é