Considerando a distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right), calcule as probabilidades para cada caso:
Com X \sim N(80,36), encontre a e b, simétricos em torno de \mu=80, tal que P(a \leq X<b)=0,95.

Passo 1

O enunciado dá X\sim N(\mu,\sigma^2) com \mu=80 e \sigma^2=36 (logo \sigma=6), e pede um intervalo [a,b), simétrico em torno de \mu, tal que
P(a \le X < b)=0,95.
Para resolver, vamos padronizar X e usar a tabela da normal padrão.

Passo 2

Como o intervalo é simétrico em torno de \mu, escrevemos
a = \mu - k,\qquad b = \mu + k
e exigimos
P(\mu - k \le X \le \mu + k)=0,95.
Padronizando X, definimos Z=\frac{X-\mu}{\sigma}, de modo que
P\bigl(-\tfrac{k}{\sigma}\le Z \le \tfrac{k}{\sigma}\bigr)=0,95.

Passo 3

Na normal padrão, buscamos c tal que
P(-c \le Z \le c)=0,95.
Isso equivale a
P(Z \le c)=0,975,
cujo valor tabelado é c=z_{0,975}\approx1,96.

Passo 4

Igualando c=\tfrac{k}{\sigma}, obtemos
\tfrac{k}{6}=1,96 \quad\Longrightarrow\quad k=1,96\times6=11,76.

Passo 5

Finalmente, calculamos
a=\mu-k=80-11,76=68,24, \qquad b=\mu+k=80+11,76=91,76.

Resposta

a\approx68,24 e b\approx91,76.

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