Numa indústria de autopeças, sabe-se que o nível de dureza de um produto feito a base de cerâmica tem média variabilidade \sigma^{2}=0,64. Uma amostra de 16 peças foram testas quanto à dureza e o resultado é apresentado abaixo.
17,518,418,817,917,518,217,518,017,919,417,818,517,418,619,218,6
a) Encontre uma estimativa para o nível de dureza do produto…
b) Determine a probabilidade da média amostral não se afastar da média real \mu mais do que 1,4 unidades.
c) Repetir o item (b) considerando variância desconhecida.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=16 dos níveis de dureza
17,5,\;18,4,\;18,8,\;17,9,\;17,5,\;18,2,\;17,5,\;18,0,\;17,9,\;19,4,\;17,8,\;18,5,\;17,4,\;18,6,\;19,2,\;18,6
e informa variância verdadeira \sigma^2=0,64.
a) Pede estimativa pontual para a média \mu.
b) Pede P\bigl(|\bar X-\mu|\le1,4\bigr) usando \sigma conhecido.
c) Repetir (b) supondo \sigma^2 desconhecido (usar distribuição t_{n-1}).

Passo 2

Calculamos a média amostral
\bar x = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} x_i =\frac{291,2}{16}=18,2.
Portanto a estimativa de \mu é \hat\mu=\bar x=18,2.

Passo 3

Como \sigma^2 é conhecido, \bar X\sim N\bigl(\mu,\;\sigma^2/n\bigr)=N\bigl(\mu,0,64/16\bigr)=N(\mu,0,04).
Queremos
P\bigl(|\bar X-\mu|\le1,4\bigr) =P\Bigl(-\frac{1,4}{\sqrt{0,04}}\le Z\le\frac{1,4}{\sqrt{0,04}}\Bigr)
\frac{1,4}{\sqrt{0,04}}=\frac{1,4}{0,2}=7,
então
P\bigl(|\bar X-\mu|\le1,4\bigr) =\Phi(7)-\Phi(-7)\approx0,999999999\\ (\text{praticamente }1).

Passo 4

Para \sigma^2 desconhecido, usamos
T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}=t_{15},
onde
S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2 =\frac{5,74}{15}\approx0,3827, \quad S\approx0,6186.
Logo
P\bigl(|\bar X-\mu|\le1,4\bigr) =P\Bigl(-\frac{1,4}{S/\sqrt{16}}\le T\le\frac{1,4}{S/\sqrt{16}}\Bigr),
\frac{1,4}{S/\sqrt{16}}=\frac{1,4}{0,6186/4}\approx9,06,
então
P\bigl(|\bar X-\mu|\le1,4\bigr) =F_{t_{15}}(9{,}06)-F_{t_{15}}(-9{,}06) \approx0,9999999\\ (\text{praticamente }1).

Resposta

a) \hat\mu=\bar x=18,2.
b) P(|\bar X-\mu|\le1,4)\approx0,999999999.
c) P(|\bar X-\mu|\le1,4)\approx0,9999999.

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