Num levantamento a respeito do tamanho dos bebês nascidos na maternidade de Santa Mater foram observadas as estaturas de 20 recém nascidos com resultados: \sum x=987 \mathrm{~cm} e \sum x^{2}=48845,25 \mathrm{~cm}^{2}. Dados históricos indicam que a estatura média das crianças nascidas neste hospital é de \mu=51 \mathrm{~cm}.
a) Qual a probabilidade de que a estatura média da amostra não ultrapasse 50,20 \mathrm{~cm} ?
b) Qual é a medida para a qual, a probabilidade de que um bebê nasça com tamanho maior do que esse valor seja de 0,175 ?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=20 com
\sum x = 987,\quad \sum x^2 = 48845{,}25
e histórico de população normal com média conhecida \mu=51.
a) Queremos \Pr(\bar X \le 50{,}20).
b) Queremos o valor c tal que \Pr(X>c)=0{,}175 para um futuro recém-nascido.
Como a variância populacional é desconhecida, vamos estimá-la pela amostra e usar a distribuição t com n-1=19 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s:
\bar x = \frac{1}{n}\sum x = \frac{987}{20} = 49{,}35
s^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum x^2 - n\,\bar x^2\Bigr) = \frac{1}{19}\bigl(48845{,}25 - 20\cdot49{,}35^2\bigr) = 7{,}20
s = \sqrt{7{,}20}\approx 2{,}683

Passo 3

a) Para \bar X, temos
T = \frac{\bar X - \mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{50{,}20 - 51}{2{,}683/\sqrt{20}} = \frac{-0{,}80}{0{,}6003} \approx -1{,}332.
Como T\sim t_{19},
\Pr(\bar X \le 50{,}20) = \Pr\bigl(T \le -1{,}332\bigr) \approx 0{,}102.

Passo 4

b) Para um único bebê X, usa-se
T = \frac{X-\mu}{s}\sim t_{19}.
Queremos c tal que
\Pr(X>c)=0{,}175 \;\Longrightarrow\; \Pr\bigl(T \le t_{0{,}825,19}\bigr)=0{,}825.
Pela tabela de t_{19}, t_{0,825,19}\approx 0{,}94. Então
c = \mu + t_{0{,}825,19}\,s = 51 + 0{,}94\cdot2{,}683 \approx 53{,}52\text{ cm}.

Resposta

a) 0{,}102
b) 53{,}52\text{ cm}

Exercícios relacionados