4- Considerando a distribuição de probabilidade do caminhante aleatório
W_{N}\left(N_{2}\right)=\frac{N!}{N_{1}!N_{2}!} p^{N_{1}} q^{N_{2}}
calcule a variância \left\langle\left(\Delta N_{2}\right)^{2}\right\rangle. Dica: considere a eq.(1).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição do número de passos na direção 2 em N tentativas, que é
W_{N}(N_{2})=\frac{N!}{(N-N_{2})!\,N_{2}!}\;p^{\,N-N_{2}}\;q^{\,N_{2}},
isto é uma distribuição binomial com parâmetro q. Precisamos calcular a variância
\langle(\Delta N_{2})^{2}\rangle=\langle N_{2}^{2}\rangle-\langle N_{2}\rangle^{2}.

Passo 2

Construímos a função geradora de momentos
Z(\alpha)=\sum_{N_{2}=0}^{N}W_{N}(N_{2})\,e^{\alpha N_{2}}
e aplicamos o binômio de Newton:
Z(\alpha)=(p+q\,e^{\alpha})^{N}.

Passo 3

Pela relação de cumulantes (eq.(1)), temos
\langle N_{2}\rangle=\left.\frac{\partial}{\partial\alpha}\ln Z(\alpha)\right|_{\alpha=0} =\left.\frac{\partial}{\partial\alpha}\Bigl[N\ln(p+q\,e^{\alpha})\Bigr]\right|_{\alpha=0} =N\,\frac{q\,e^{\alpha}}{p+q\,e^{\alpha}}\Big|_{\alpha=0} =Nq.

Passo 4

A variância é dada por
\langle(\Delta N_{2})^{2}\rangle =\left.\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\ln Z(\alpha)\right|_{\alpha=0}.
Calculando a segunda derivada,
\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\ln Z =N\,\frac{p\,q\,e^{\alpha}}{(p+q\,e^{\alpha})^{2}},
e avaliando em \alpha=0 (onde p+q=1), obtemos
\langle(\Delta N_{2})^{2}\rangle =N\,p\,q.

Resposta

\langle(\Delta N_{2})^{2}\rangle = N\,p\,q.

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