1- Qual a probabilidade de um caminhante aleatório que tem igual probabilidade de ir pra esquerda ou para a direita dá 45 passos para direita em uma caminhada de 100 passos?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de obter exatamente 45 passos para a direita em 100 passos, sendo que cada passo é independente e tem probabilidade igual de ir para a direita ou para a esquerda. O conteúdo aqui é a distribuição binomial, que combina conceitos de probabilidade de eventos independentes e de contagem combinatória.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de passos para a direita em 100 tentativas, com sucesso (passo para a direita) ocorrendo com probabilidade p=\tfrac12. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=100,\,p=\tfrac12).

Passo 3

A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios binomiais é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.
Substituindo n=100, k=45 e p=\tfrac12, vem
P(X=45) =\binom{100}{45}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{45}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{55} =\binom{100}{45}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}.

Passo 4

Se for necessária uma aproximação numérica, note que
\binom{100}{45}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}\approx 0{,}0485.

Resposta

P(X=45)=\binom{100}{45}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}\approx0{,}0485.

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