A probabilidade de um caminhante aleatório dá N_{1} passos para a direita pode ser modelada pela distribuição gaussiana
P\left(N_{1}\right)=\frac{1}{\sqrt{6 \pi \times 10^{4}}} \exp \left[-\frac{\left(N_{1}-5 \times 10^{4}\right)^{2}}{6 \times 10^{4}}\right] .
Qual o valor médio de N_{1} ?

Passo 1

O enunciado apresenta a probabilidade de que o caminhante aleatório dê N_{1} passos para a direita, modelada por uma distribuição normal
P\bigl(N_{1}\bigr)=\frac{1}{\sqrt{6\pi\times10^{4}}}\exp\!\Biggl[-\frac{\bigl(N_{1}-5\times10^{4}\bigr)^{2}}{6\times10^{4}}\Biggr].
O conteúdo é a distribuição normal (gaussiana) e precisamos extrair o valor médio (esperança) dessa variável.

Passo 2

A forma padrão de uma distribuição normal é
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\Bigl[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr],
onde \mu é a média. Comparando com
P\bigl(N_{1}\bigr)=\frac{1}{\sqrt{6\pi\times10^{4}}}\exp\!\Bigl[-\frac{(N_{1}-5\times10^{4})^{2}}{6\times10^{4}}\Bigr],
vemos que o denominador dentro do expoente é 2\sigma^{2}=6\times10^{4} e o deslocamento central é \mu=5\times10^{4}.

Resposta

O valor médio de N_{1} é
5\times10^{4}.

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