5- Considere a população de uma espécie hipotética que tem um crecimento aleatório e que dado o grende número de indivíduos a probabilidade de crecimento com relação ao tempo, em mil anos, pode ser representada pela distribuição Gaussiana
P(t)=\frac{1}{\sqrt{50 \pi}} \exp \left[-\frac{(t-20)^{2}}{50}\right] .
Se a população começar a crescer hoje,
(a) em quanto tempo a probabilidade de crescimento dessa população será máxima?
(b)Qual o desvio padrão da probabilidade de crescimento dessa população?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade do tempo de crescimento t (em milhares de anos) de uma população, definida por
P(t)=\frac{1}{\sqrt{50\pi}}\exp\!\Bigl[-\frac{(t-20)^{2}}{50}\Bigr].
O conteúdo é a distribuição Gaussiana, com média \mu e desvio padrão \sigma. Queremos (a) o valor de t que maximiza P(t) e (b) o valor de \sigma.

Passo 2

Uma Gaussiana no formato
P(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\Bigl[-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr]
atinge máximo em t=\mu. Comparando o expoente
-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \quad\text{com}\quad -\frac{(t-20)^{2}}{50},
vemos que \mu=20. Logo, a probabilidade de crescimento é máxima em t=20 (mil anos).

Passo 3

Para achar \sigma, igualamos os denominadores do expoente:
2\sigma^{2}=50 \quad\Longrightarrow\quad \sigma^{2}=25 \quad\Longrightarrow\quad \sigma=5.

Resposta

(a) 20 mil anos
(b) 5 mil anos

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