Dada a distribuição de frequências das notas de 44 alunos a seguir, determine a média, a moda e a mediana desse conjunto de dados.
Notas \mathbf{f}_{\mathbf{i}}
0 \vdash-2 5
2 \vdash 4 8
4 \vdash 6 14
6 \vdash 8 10
8 \vdash 10 7

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição de frequências de 44 alunos em cinco classes de notas [0,2), [2,4), [4,6), [6,8) e [8,10). Pede-se a média, a mediana e a moda desse conjunto. Vamos tratar isso como dados agrupados em classes, usando (1) para a média os pontos médios de cada classe; (2) para a mediana a fórmula da classe mediana; e (3) para a moda a fórmula da classe modal.

Passo 2

Para calcular a média, primeiro achamos o ponto médio x_i de cada classe e multiplicamos pela frequência f_i:
\begin{aligned} &\text{classe }[0,2):\;x_1=1,\;f_1=5,\quad \text{classe }[2,4):\;x_2=3,\;f_2=8,\\\ &\text{classe }[4,6):\;x_3=5,\;f_3=14,\quad \text{classe }[6,8):\;x_4=7,\;f_4=10,\\\ &\text{classe }[8,10):\;x_5=9,\;f_5=7. \end{aligned}
Calculamos
\sum_{i=1}^5 f_i\,x_i =5\cdot1 + 8\cdot3 + 14\cdot5 + 10\cdot7 + 7\cdot9 =232.
Logo a média é
\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^5 f_i\,x_i = \frac{232}{44}\approx5{,}27.

Passo 3

Para a mediana, identificamos a classe em que a frequência acumulada supera N/2=22. As somas parciais são:
5,\;5+8=13,\;13+14=27,\dots
Logo a classe mediana é [4,6), com limite inferior L=4, frequência acumulada antes F_a=13, frequência da classe f_m=14 e amplitude h=2. Aplica-se
\tilde x = L + \frac{\tfrac{N}{2}-F_a}{f_m}\,h =4 + \frac{22-13}{14}\cdot2 =4 + \frac{9}{14}\cdot2 \approx5{,}29.

Passo 4

Para a moda, a classe modal é também [4,6), pois tem f_m=14 a maior frequência. A frequência da classe anterior é f_{-1}=8 e da próxima é f_{+1}=10. Usa-se
Mo = L + \frac{f_m - f_{-1}}{2f_m - f_{-1} - f_{+1}}\,h =4 + \frac{14-8}{2\cdot14 -8 -10}\cdot2 =4 + \frac{6}{28-18}\cdot2 =4 + \frac{6}{10}\cdot2 =5{,}2.

Resposta

Média \bar x\approx5{,}27
Mediana \tilde x\approx5{,}29
Moda Mo\approx5{,}20

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