Considerando o domínio de discurso
, determine o valor verdade de cada proposição abaixo:
:
não é primo
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o conjunto dos números naturais,
. A proposição que precisamos avaliar é:
Aqui, estamos lidando com conceitos de lógica matemática e teoria dos números, especificamente sobre números primos e divisores. Vamos precisar entender o que são números primos, divisores e como funcionam os quantificadores “para todo” (
) e “existe” (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, o número 5 é primo porque seus únicos divisores são 1 e 5.
Passo 3
Agora, vamos analisar a proposição:
Isso quer dizer: “Para todo número natural
, existe um número
maior que 1 tal que, se
é diferente de
e
divide
, então
não é primo.”
Passo 4
Vamos considerar dois casos para
:
-
é primo: Nesse caso, os únicos divisores de são 1 e ele mesmo. Portanto, não existe um e diferente de que divide . A proposição dentro do quantificador existencial, , seria falsa, o que faz a implicação verdadeira por definição de implicação. -
não é primo: Aqui, existem pelo menos um divisor e diferente de que divide . Nesse caso, a proposição é verdadeira, e a conclusão “n não é primo” também é verdadeira, tornando toda a implicação verdadeira.
Passo 5
Agora, avaliando a proposição original:
- Para n primo, a proposição é verdadeira porque a implicação se mantém verdadeira por definição.
- Para n não primo, também é verdadeira, já que existe tal
que satisfaz a condição e confirma que não é primo.
Resposta
A proposição é sempre verdadeira para todo número natural
.