Considerando o domínio de discurso U = N, determine o valor verdade de cada proposição abaixo:
∀ n ∃ m > 1 :
(m ≠ n ∧ m | n) ⇒ n não é primo

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o conjunto dos números naturais, N. A proposição que precisamos avaliar é:
ãé
Aqui, estamos lidando com conceitos de lógica matemática e teoria dos números, especificamente sobre números primos e divisores. Vamos precisar entender o que são números primos, divisores e como funcionam os quantificadores “para todo” ( ) e “existe” ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, o número 5 é primo porque seus únicos divisores são 1 e 5.

Passo 3

Agora, vamos analisar a proposição:
ãé
Isso quer dizer: “Para todo número natural n, existe um número m maior que 1 tal que, se m é diferente de n e m divide n, então n não é primo.”

Passo 4

Vamos considerar dois casos para n:
  1. n é primo: Nesse caso, os únicos divisores de n são 1 e ele mesmo. Portanto, não existe um e diferente de n que divide n. A proposição dentro do quantificador existencial, , seria falsa, o que faz a implicação é verdadeira por definição de implicação.
  2. n não é primo: Aqui, existem pelo menos um divisor e diferente de n que divide n. Nesse caso, a proposição é verdadeira, e a conclusão “n não é primo” também é verdadeira, tornando toda a implicação verdadeira.

Passo 5

Agora, avaliando a proposição original:
  • Para n primo, a proposição é verdadeira porque a implicação se mantém verdadeira por definição.
  • Para n não primo, também é verdadeira, já que existe tal m que satisfaz a condição e confirma que n não é primo.

Resposta

A proposição é sempre verdadeira para todo número natural n.

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