Considerando que os efeitos da resistência do ar podem ser desprezados e que o movimento ao longo do plano inclinado seja acelerado (MRUV), determine a expressão que permite calcular a velocidade em qualquer instante de tempo em função de \bar{t} e do ângulo \theta do plano. Lembre-se: \sum \overrightarrow{\mathbf{F}}=m \overrightarrow{\mathbf{a}} e \sum \vec{\tau}=I \vec{\alpha}. Deve-se considerar o atrito entre a esfera e a calha?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade v de uma esfera rolando sem deslizar num plano inclinado de ângulo \theta, em regime de MRUV, em função do tempo \bar t. Vamos aplicar as equações
\sum \vec F = m\,\vec a
e
\sum \tau = I\,\alpha
para traduzir a aceleração linear e angular da esfera.

Passo 2

Desenhando o corpo livre ao longo do plano inclinado, temos:
– peso projetado para baixo do plano: m\,g\sin\theta
– força de atrito estático f apontando para cima do plano (responsável pelo rolamento)
– normal N perpendicular ao plano (não entra em conta na direção do movimento)

Passo 3

Escrevendo a segunda lei de Newton na direção do plano:
m\,a \;=\; m\,g\sin\theta \;-\; f

Passo 4

Escrevendo o torque em torno do centro da esfera (o atrito produz o torque que faz a esfera girar):
f\,R \;=\; I\,\alpha
e como há rolamento sem deslize,
\alpha = \frac{a}{R}\,.

Passo 5

Substituindo \alpha em fR = I\alpha obtemos
f = \frac{I}{R^2}\,a.
Voltando à equação de translação:
m\,a = m\,g\sin\theta - \frac{I}{R^2}\,a \quad\Longrightarrow\quad m\,g\sin\theta = a\Bigl(m + \tfrac{I}{R^2}\Bigr).
Logo,
a = \frac{g\sin\theta}{1 + \displaystyle\frac{I}{mR^2}}.
Para uma esfera sólida I = \tfrac{2}{5}mR^2, daí
a = \frac{g\sin\theta}{1 + \tfrac{2}{5}} = \frac{5}{7}\,g\sin\theta.

Passo 6

Como o movimento parte do repouso e é MRUV, a velocidade em função do tempo \bar t é
v(\bar t) = a\,\bar t = \frac{5}{7}\,g\sin\theta \;\bar t.

Passo 7

De fato, devemos considerar o atrito estático entre esfera e calha porque ele gera o torque necessário ao rolamento. Contudo não há trabalho dissipativo, já que não ocorre deslizamento.

Resposta

v(\bar t) = \frac{5}{7}\,g\sin\theta\;\bar t.
Sim: é preciso considerar o atrito estático para que haja rolamento sem deslize.

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