Considerando a equação de análise de Fourier ou a equação de síntese, mostre a validade em geral de cada uma das seguintes afirmações sobre e seu conjugado :
a. Se é valor real, então .
b. Se , então é real.
Usando as declarações dos itens , mostre a validade de cada uma das seguintes afirmações:
c. Se é real e par, então é real e par.
d. Se é real e ímpar, então é imaginário e ímpar.
Passo 1
O enunciado trata de propriedades de simetria e conjugação entre e sua Transformada de Fourier
Vamos usar a definição de Transformada de Fourier e operações com conjugado para provar:
a. Se é real então .
b. Se então é real.
Em seguida, usando (a) e (b), derivamos:
c. Se é real e par, então é real e par.
d. Se é real e ímpar, então é imaginário e ímpar.
Passo 2
Prova de (a): assumindo real temos . Então
Reescrevendo, obtemos .
Passo 3
Prova de (b): assumindo , compute-se
Mude de variável , , fica
Logo , ou seja, é real.
Passo 4
Derivação de (c): se é real e par então
– real implica, por (a), , isto é, tem simetria Hermitiana;
– par implica . Como é real, isso também dá , e por (b) é real.
Uma vez real e obedecendo , temos . Logo é real e par.
Passo 5
Derivação de (d): se é real e ímpar então
– real dá de novo a Hermitianidade ;
– ímpar dá . Como é real, isto é . Refaça a prova de (b) com esse sinal extra:
Logo
X(omega)=-X^*(omega),
o que significa que a parte real de X é zero e a parte imaginária é ímpar. Combinando isso com X(omega)=X^*(-omega), obtemos X(-omega)=-X(omega), ou seja, X é puramente imaginária e ímpar.
Resposta
a. Se x(t) é real então X(omega)=X^*(-omega).
b. Se x(t)=x^*(-t) então X(omega) é real.
c. Se x(t) é real e par então X(omega) é real e par.
d. Se x(t) é real e ímpar então X(omega) é puramente imaginário e ímpar.