Considerando a equação de análise de Fourier ou a equação de síntese, mostre a validade em geral de cada uma das seguintes afirmações sobre x(t) e seu conjugado x^*(t) :
a. Se x(t) é valor real, então X(omega)=X^*(-omega).
b. Se x(t)=x^*(-t), então X(omega) é real.
Usando as declarações dos itens a, b, mostre a validade de cada uma das seguintes afirmações:
c. Se x(t) é real e par, então X(omega) é real e par.
d. Se x(t) é real e ímpar, então X(omega) é imaginário e ímpar.

Passo 1

O enunciado trata de propriedades de simetria e conjugação entre x(t) e sua Transformada de Fourier
X(omega)=integral-infty^inftyx(t)e^-jomega t,dt
Vamos usar a definição de Transformada de Fourier e operações com conjugado para provar:
a. Se x(t) é real então ,X(omega)=X^*(-omega).
b. Se x(t)=x^*(-t) então X(omega) é real.
Em seguida, usando (a) e (b), derivamos:
c. Se x(t) é real e par, então X(omega) é real e par.
d. Se x(t) é real e ímpar, então X(omega) é imaginário e ímpar.

Passo 2

Prova de (a): assumindo x(t) real temos ,x^*(t)=x(t). Então
X^*(omega) =gl(integral-infty^inftyx(t)e^-jomega t,dtgr)^* =integral-infty^inftyx^*(t)l(e^-jomega tr)^*dt =integral-infty^inftyx(t)e^,jomega t,dt =X(-omega)
Reescrevendo, obtemos ,X(omega)=X^*(-omega).

Passo 3

Prova de (b): assumindo x(t)=x^*(-t), compute-se
X(omega) =integral-infty^inftyx(t)e^-jomega t,dt
Mude de variável u=-t, dt=-du, fica
X(omega) =integralinfty^-inftyx(-u)e^-jomega(-u)(-du) =integral-infty^inftyx^*(u)e^,jomega u,du =integral-infty^inftyl[x(u)e^-jomega ur]^*du =gl(integral-infty^inftyx(u)e^-jomega u,dugr)^* =X^*(omega)
Logo X(omega)=X^*(omega), ou seja, X(omega) é real.

Passo 4

Derivação de (c): se x(t) é real e par então
– real implica, por (a), X(omega)=X^*(-omega), isto é, X tem simetria Hermitiana;
– par implica x(t)=x(-t). Como x é real, isso também dá x(t)=x^*(-t), e por (b) X(omega) é real.
Uma vez real e obedecendo X(omega)=X^*(-omega), temos X(-omega)=X(omega). Logo X(omega) é real e par.

Passo 5

Derivação de (d): se x(t) é real e ímpar então
– real dá de novo a Hermitianidade X(omega)=X^*(-omega);
– ímpar dá x(-t)=-x(t). Como x é real, isto é x(t)=-x^*(-t). Refaça a prova de (b) com esse sinal extra:
X(omega) =integral x(t)e^-jomega t,dt ;xrightarrowt=-u; -integral x^*(u)e^,jomega u,du =-l(!integral x(u)e^-jomega u,dur)^* =-X^*(omega)
Logo
X(omega)=-X^*(omega),
o que significa que a parte real de X é zero e a parte imaginária é ímpar. Combinando isso com X(omega)=X^*(-omega), obtemos X(-omega)=-X(omega), ou seja, X é puramente imaginária e ímpar.

Resposta

a. Se x(t) é real então X(omega)=X^*(-omega).
b. Se x(t)=x^*(-t) então X(omega) é real.
c. Se x(t) é real e par então X(omega) é real e par.
d. Se x(t) é real e ímpar então X(omega) é puramente imaginário e ímpar.

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