Considere o sinal , que consiste em um único impulso retangular de altura unitária, simétrico em relação à origem e de largura total .
a. Esboce .
b. Esboce , que é uma repetição periódica de com período .
c. Calcule a transformada de Fourier de . Esboce o módulo para .
d. Calcule os coeficientes da série de Fourier de . Esboce para .
Passo 1
O enunciado trata de um pulso retangular unitário de largura total , simétrico em torno de zero, e pede:
(a) o esboço de ;
(b) o esboço de , repetição periódica de com período ;
(c) a transformada de Fourier de e o gráfico de em |omega|<=6pi/T1;
(d) os coeficientes X[n] da série de Fourier de y(t) e um esboço de X[n] para n=0,pm1,pm2,pm3.
Para isso vamos usar as definições de pulso retangular, transformada de Fourier de um retângulo e série de Fourier de sinal periódico.
Passo 2
O sinal
No esboço, basta desenhar um degrau de valor 1 para e , e zero fora desse intervalo.
Passo 3
O sinal y(t) é a repetição de x(t) de modo que
y(t)=sumk=-infty^inftyxl(t-kT0r),
com T0=3T1/2. No esboço, coloca-se um pulso idêntico ao de x(t) em cada instante t=kT0, para todo inteiro k.
Para n=0 vale X[0]=2/3. Para n=pm1,pm2,pm3 basta avaliar sinc(2pi n/3): quando n=pm3, sinc(2pi)=0; para n=pm1 e pm2 obtemos valores decrescentes em módulo (positivo para n=pm1, negativo para n=pm2). O esboço é um conjunto de pontos simétricos em n.
Resposta
a)
x(t)= 1, & -tfracT12<= t<= tfracT12, 0, & cc
b)
y(t)=sumk=-infty^inftyxl(t-kT0r), T0=tfrac3T12
c)
X(omega) =T1,sinc!l(tfracomega T12r),
com zeros em omega=pm2pi/T1,pm4pi/T1,pm6pi/T1.
d)
X[n] =23;sinc!l(tfrac2pi n3r),
para n=0,pm1,pm2,pm3, com X[0]=2/3, X[pm3]=0 e valores decrescentes para pm1,pm2.