Considere o sinal x(t), que consiste em um único impulso retangular de altura unitária, simétrico em relação à origem e de largura total T1.
a. Esboce x(t).
b. Esboce y(t), que é uma repetição periódica de x(t) com período T0=3 T1 / 2.
c. Calcule a transformada de Fourier X(omega) de x(t). Esboce o módulo |X(omega)| para |omega| <= 6 pi / T1.
d. Calcule os coeficientes X[n] da série de Fourier de y(t). Esboce X[n] para n= 0, pm 1, pm 2, pm 3.

Passo 1

O enunciado trata de um pulso retangular unitário x(t) de largura total T1, simétrico em torno de zero, e pede:
  • (a) o esboço de x(t);
  • (b) o esboço de y(t), repetição periódica de x(t) com período T0=3T1/2;
  • (c) a transformada de Fourier X(omega) de x(t) e o gráfico de l|X(omega)r| em |omega|<=6pi/T1;
  • (d) os coeficientes X[n] da série de Fourier de y(t) e um esboço de X[n] para n=0,pm1,pm2,pm3.
    Para isso vamos usar as definições de pulso retangular, transformada de Fourier de um retângulo e série de Fourier de sinal periódico.

Passo 2

O sinal
No esboço, basta desenhar um degrau de valor 1 para e , e zero fora desse intervalo.

Passo 3

O sinal y(t) é a repetição de x(t) de modo que
y(t)=sumk=-infty^inftyxl(t-kT0r),
com T0=3T1/2. No esboço, coloca-se um pulso idêntico ao de x(t) em cada instante t=kT0, para todo inteiro k.

Passo 4

A transformada de Fourier de x(t) é
X(omega) =integral-T1/2^T1/2e^-jomega t,dt =sin!l(tfracomega T12r)omega/2 =T1,sinc!l(tfracomega T12r),
onde definimos sinc(x)=sin(x)/x.
O módulo l|X(omega)r| tem pico em omega=0 e zeros em
omega = pm2piT1,;pm4piT1,;pm6piT1,;dots
Para |omega|<=6pi/T1 vemos o primeiro lobo central e dois lobos secundários até o zero em pm6pi/T1.

Passo 5

Para o sinal periódico y(t) de período T0, os coeficientes da série de Fourier são
X[n] =1T0;Xl(omegar)|omega = n2piT0 =1T0;T1,sinc!l(npi T1T0r)
Como T0=3T1/2, temos T1/T0=2/3 e
X[n] =23;sinc!l(tfracnpi T1T0r) =23;sinc!l(tfrac2pi n3r)
Para n=0 vale X[0]=2/3. Para n=pm1,pm2,pm3 basta avaliar sinc(2pi n/3): quando n=pm3, sinc(2pi)=0; para n=pm1 e pm2 obtemos valores decrescentes em módulo (positivo para n=pm1, negativo para n=pm2). O esboço é um conjunto de pontos simétricos em n.

Resposta

a)
x(t)= 1, & -tfracT12<= t<= tfracT12, 0, & cc
b)
y(t)=sumk=-infty^inftyxl(t-kT0r), T0=tfrac3T12
c)
X(omega) =T1,sinc!l(tfracomega T12r),
com zeros em omega=pm2pi/T1,pm4pi/T1,pm6pi/T1.
d)
X[n] =23;sinc!l(tfrac2pi n3r),
para n=0,pm1,pm2,pm3, com X[0]=2/3, X[pm3]=0 e valores decrescentes para pm1,pm2.

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