Determine a resposta do sistema linear e invariante no tempo com resposta impulsiva:
h(t)=e^-a t u1(t), a>0
ao sinal de entrada:
x(t)=e^-b t u1(t), b>0

Passo 1

O enunciado quer a saída y(t) de um sistema LTI com resposta impulsiva h(t)=e^-a tu1(t) sob entrada x(t)=e^-b tu1(t). O conteúdo é convolução no domínio do tempo e vamos precisar usar a definição de convolução para sinais contínuos.

Passo 2

Para um sistema LTI invariante no tempo, a saída é a convolução y(t)=h(t)*x(t). Ou seja:

Passo 3

y(t)=integral-infty^inftyh(tau),x(t-tau),dtau

Passo 4

Como h(tau)=0 para tau<0 e x(t-tau)=0 para t-tau<0, a integração reduz-se a tau de 0 a t. Substituindo os sinais:

Passo 5

y(t)=integral0^te^-atau;e^-b(t-tau),dtau = e^-b tintegral0^te^(b-a)tau,dtau

Passo 6

Avaliam-se dois casos. Se aneq b, então

Passo 7

integral0^te^(b-a)tau,dtau=e^(b-a)t-1b-a

Passo 8

e portanto

Passo 9

y(t)=e^-b te^(b-a)t-1b-a =e^-a t-e^-b tb-a,u1(t)

Passo 10

Se a=b, o integrando é constante e

Passo 11

integral0^t1,dtau=t

Passo 12

logo

Passo 13

y(t)=t,e^-a t,u1(t)

Resposta

Para aneq b:
y(t)=e^-a t-e^-b tb-a,u1(t)
Para a=b:
y(t)=t,e^-a t,u1(t)

Exercícios relacionados