Considerando as equações de Maxwell no vácuo, numa região onde não há cargas elétricas nem correntes (
e
), e considerando ainda que os campos elétrico e magnético dependam somente de uma única coordenada espacial e o tempo, e escolhendo o eixo
na direção dessa coordenada, encontramos que as componentes
e
satisfazem a seguinte equação de onda unidimensional:
Em que
pode ser quaisquer uma das componentes
e
dos campos elétrico e magnético supracitados.
a) Mostre que
, em que
e
são funções arbitrárias, é uma solução da equação de onda unidimensional. Fisicamente,
representa um perfil qualquer de onda propagando-se no sentido positivo de
(onda caminhante progressiva) e
uma onda em sentido oposto (onda caminhante regressiva).
b) Considere que
e que
isto é, uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo
(usando
). Encontre quais devem ser
de tal forma que satisfaçam os dois pares de equações abaixo.
Ondas eletromagnéticas no vácuo são transversais: os campos oscilam em direções ortogonais (nesse caso, as direções
e
) à direção de propagação da onda (no caso em questão, a direção
).
c) Assuma que o vetor campo elétrico é dado da seguinte forma:
que representa uma onda monocromática, em que
é o número de onda e
é a amplitude. Sabendo que para ondas eletromagnéticas no vácuo e na ausência de fontes (cargas e correntes) o vetor campo magnético é dado pela expressão abaixo, determine-o (módulo, direção e sentido) considerando o campo elétrico como mostrado acima.
Em que
a) Mostre que
b) Considere que
Ondas eletromagnéticas no vácuo são transversais: os campos oscilam em direções ortogonais (nesse caso, as direções
c) Assuma que o vetor campo elétrico é dado da seguinte forma:
Passo 1
O enunciado traz a equação de onda unidimensional no vácuo
e pede em (a) mostrar que
é solução. Em (b) temos ondas propagando para +z,
e
, e devemos achar
e
que satisfaçam dois pares de equações de Maxwell reduzidas. Em (c) plugamos uma onda monocromática
na relação
na relação
para determinar módulo, direção e sentido de
.
Passo 2
Mostramos (a) usando regra da cadeia. Defina
e
. Para
temos
Logo
Idem para
. Como a equação é linear,
também satisfaz.
Passo 3
Na parte (b) use
. Para
a derivada em
é
e em
é
. A primeira equação exige
o que integra para
a constante pode ser zero. Verifique então
Analogamente, para
a terceira equação dá
levando a
e confirma-se
Passo 4
Na parte (c) temos
.
Usando
Usando
e lembrando
, obtemos
Assim o módulo é
, a direção é
e o sentido dado pelo sinal positivo na frente de
.
Resposta
a) Qualquer
satisfaz
.
b) Para onda em :
b) Para onda em
c) Para
,