Considerando as equações de Maxwell no vácuo, numa região onde não há cargas elétricas nem correntes ( \rho=0 e |\boldsymbol{J}|=0 ), e considerando ainda que os campos elétrico e magnético dependam somente de uma única coordenada espacial e o tempo, e escolhendo o eixo z na direção dessa coordenada, encontramos que as componentes E_{x}, E_{y}, B_{x} e B_{y} satisfazem a seguinte equação de onda unidimensional:
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=0, \quad v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{o} \epsilon_{o}}}
Em que f pode ser quaisquer uma das componentes x e y dos campos elétrico e magnético supracitados.
a) Mostre que f(z, t)=F(z-v t)+G(z+v t), em que F e G são funções arbitrárias, é uma solução da equação de onda unidimensional. Fisicamente, F representa um perfil qualquer de onda propagando-se no sentido positivo de z (onda caminhante progressiva) e G uma onda em sentido oposto (onda caminhante regressiva).
b) Considere que E_{x}(z, t)=E_{x}(z-c t) e que E_{y}(z, t)=E_{y}(z-c t) isto é, uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo z (usando c=1 / \sqrt{\mu_{o} \epsilon_{o}} ). Encontre quais devem ser B_{y}(z, t) \mathrm{e} B_{x}(z, t) de tal forma que satisfaçam os dois pares de equações abaixo.
\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=-\mu_{o} \epsilon_{o} \frac{\partial E_{x}}{\partial t}
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial t}
\frac{\partial B_{x}}{\partial z}=+\mu_{o} \epsilon_{o} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}
\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=+\frac{\partial B_{x}}{\partial t}
Ondas eletromagnéticas no vácuo são transversais: os campos oscilam em direções ortogonais (nesse caso, as direções x e y ) à direção de propagação da onda (no caso em questão, a direção z ).
c) Assuma que o vetor campo elétrico é dado da seguinte forma: \mathbf{E}(z, t)=A \cos [k(z-c t)+\delta] \hat{\mathbf{x}} que representa uma onda monocromática, em que k=\omega / c é o número de onda e A é a amplitude. Sabendo que para ondas eletromagnéticas no vácuo e na ausência de fontes (cargas e correntes) o vetor campo magnético é dado pela expressão abaixo, determine-o (módulo, direção e sentido) considerando o campo elétrico como mostrado acima.
\mathbf{B}=\frac{1}{c} \hat{\mathbf{z}} \times \hat{\mathbf{E}}

Passo 1

O enunciado traz a equação de onda unidimensional no vácuo
\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} \;-\;\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}} \;=\;0, \quad v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}},
e pede em (a) mostrar que
f(z,t)=F(z-vt)+G(z+vt)
é solução. Em (b) temos ondas propagando para +z, E_x=E_x(z-ct) e E_y=E_y(z-ct), e devemos achar B_y e B_x que satisfaçam dois pares de equações de Maxwell reduzidas. Em (c) plugamos uma onda monocromática \mathbf{E}(z,t)=A\cos[k(z-ct)+\delta]\hat{\mathbf x}
na relação
\mathbf{B}=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf z}\times\mathbf{E}
para determinar módulo, direção e sentido de \mathbf B.

Passo 2

Mostramos (a) usando regra da cadeia. Defina \xi_{-}=z-vt e \xi_{+}=z+vt. Para f_1(z,t)=F(\xi_{-}) temos
\frac{\partial f_1}{\partial z}=F'(\xi_{-}),\quad \frac{\partial^2 f_1}{\partial z^2}=F''(\xi_{-}),
\frac{\partial f_1}{\partial t}=-v\,F'(\xi_{-}),\quad \frac{\partial^2 f_1}{\partial t^2}=v^2\,F''(\xi_{-}).
Logo
\frac{\partial^2 f_1}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f_1}{\partial t^2} =F''(\xi_{-})-\frac{1}{v^2}(v^2F''(\xi_{-}))=0.
Idem para f_2(z,t)=G(\xi_{+}). Como a equação é linear, F(\xi_{-})+G(\xi_{+}) também satisfaz.

Passo 3

Na parte (b) use \xi=z-ct. Para E_x=E_x(\xi) a derivada em z é E_x'(\xi) e em t é -cE_x'(\xi). A primeira equação exige
\frac{\partial B_y}{\partial z} =-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t} =-\frac{1}{c^2}(-cE_x'(\xi)) =\frac{1}{c}E_x'(\xi),
o que integra para
B_y(z,t)=\frac{1}{c}\,E_x(z-ct)+\text{constante},
a constante pode ser zero. Verifique então
-\frac{\partial B_y}{\partial t} =-\frac{1}{c}(-cE_x'(\xi)) =E_x'(\xi) =\frac{\partial E_x}{\partial z}.
Analogamente, para E_y=E_y(\xi) a terceira equação dá
\frac{\partial B_x}{\partial z} =+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t} =\frac{1}{c^2}(-cE_y'(\xi)) =-\frac{1}{c}E_y'(\xi),
levando a
B_x(z,t)=-\frac{1}{c}\,E_y(z-ct),
e confirma-se
\frac{\partial B_x}{\partial t} =-\frac{1}{c}(-cE_y'(\xi)) =E_y'(\xi) =\frac{\partial E_y}{\partial z}.

Passo 4

Na parte (c) temos \mathbf{E}(z,t)=A\cos[k(z-ct)+\delta]\hat{\mathbf x}.
Usando
\mathbf{B}=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf z}\times\mathbf{E}
e lembrando \hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf x}=\hat{\mathbf y}, obtemos
\mathbf{B}(z,t) =\frac{1}{c}\,A\cos\bigl[k(z-ct)+\delta\bigr]\,(\hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf x}) =\frac{A}{c}\cos\bigl[k(z-ct)+\delta\bigr]\,\hat{\mathbf y}.
Assim o módulo é A/c, a direção é \hat{\mathbf y} e o sentido dado pelo sinal positivo na frente de \hat{\mathbf y}.

Resposta

a) Qualquer f(z,t)=F(z-vt)+G(z+vt) satisfaz \partial_z^2f-\tfrac{1}{v^2}\partial_t^2f=0.
b) Para onda em +z:
B_y(z,t)=\frac{1}{c}\,E_x(z-ct), \quad B_x(z,t)=-\frac{1}{c}\,E_y(z-ct).
c) Para \mathbf{E}=A\cos[k(z-ct)+\delta]\hat{\mathbf x},
\mathbf{B}(z,t) =\frac{A}{c}\cos\bigl[k(z-ct)+\delta\bigr]\hat{\mathbf y}.

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