Duas cascas esféricas concêntricas (metálicas) de raio R_{1}<R_{2}, possuem uma densidade superficial de carga \sigma_{1} e \sigma_{2} respectivamente. Determine a distribuição do potencial em todo o espaço do sistema.

Passo 1

O enunciado dá duas cascas esféricas metálicas concêntricas, de raios R_{1}<R_{2}, com densidades superficiais de carga \sigma_{1} e \sigma_{2}. Queremos o potencial elétrico V(r) em todo o espaço, tomando V(\infty)=0. Para isso usamos a Lei de Gauss para achar o campo \mathbf{E}(r) e depois integramos \mathbf{E}=-\nabla V.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss em cada região esférica:
  1. Para r<R_{1}, dentro do condutor interno, o campo é zero:
E(r)=0.
  1. Para R_{1}<r<R_{2}, só contribui a carga da casca interna Q_{1}. Como
Q_{1}=4\pi R_{1}^{2}\,\sigma_{1},
temos
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{4\pi R_{1}^{2}\sigma_{1}}{r^{2}} =\frac{R_{1}^{2}\,\sigma_{1}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
  1. Para r>R_{2}, contribuem Q_{1} e Q_{2}=4\pi R_{2}^{2}\sigma_{2}, logo
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_{1}+Q_{2}}{r^{2}} =\frac{R_{1}^{2}\sigma_{1}+R_{2}^{2}\sigma_{2}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Passo 3

Agora integramos E=-\dfrac{dV}{dr} de r até \infty (com V(\infty)=0), obtendo:
  1. Para r>R_{2},
V(r)=\int_{\infty}^{r}-E(r')\,dr' =\frac{Q_{1}+Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r}.
  1. Para R_{1}<r<R_{2}, começamos em r até R_{2} usando E=Q_{1}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2}), e em seguida somamos o potencial constante que vem de Q_{2}. O resultado é
V(r) =\frac{Q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r} +\frac{Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R_{2}}.
  1. Para r<R_{1}, o potencial é constante igual ao valor em r=R_{1}:
V(r) =\frac{Q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R_{1}} +\frac{Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,R_{2}}.

Resposta

Substituindo Q_{1}=4\pi R_{1}^{2}\sigma_{1} e Q_{2}=4\pi R_{2}^{2}\sigma_{2}, o potencial fica
V(r)= \begin{cases} \dfrac{R_{1}\,\sigma_{1}+R_{2}\,\sigma_{2}}{\varepsilon_{0}}, & r<R_{1},\\[1em] \dfrac{R_{1}^{2}\,\sigma_{1}}{\varepsilon_{0}\,r} +\dfrac{R_{2}\,\sigma_{2}}{\varepsilon_{0}}, & R_{1}<r<R_{2},\\[1em] \dfrac{R_{1}^{2}\,\sigma_{1}+R_{2}^{2}\,\sigma_{2}} {\varepsilon_{0}\,r}, & r>R_{2}. \end{cases}]

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