O potencial eléctrico no plano x y é dado por \varphi=3,0 x^{2}\left(\frac{V}{m^{2}}\right)-2,0 y^{2}\left(\frac{V}{m^{2}}\right). Determine o campo eléctrico no ponto P(2 ; 3) m.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no plano xy como
\varphi(x,y)=3,0\,x^{2}-2,0\,y^{2}\quad(V)
e pede o campo elétrico no ponto P(2,3).
Para resolver, usamos a relação fundamental da eletrostática:
\mathbf{E}=-\nabla\varphi,
isto é, as componentes de \mathbf{E} vêm das derivadas parciais de \varphi.

Passo 2

Calcular o gradiente de \varphi. Primeiro as derivadas parciais:
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3,0\,x^{2}-2,0\,y^{2}\bigr) =6,0\,x,
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3,0\,x^{2}-2,0\,y^{2}\bigr) =-4,0\,y.
Logo,
\nabla\varphi =\bigl(6,0\,x\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(-4,0\,y\bigr)\,\mathbf{j}
e
\mathbf{E} =-\nabla\varphi =-6,0\,x\,\mathbf{i}+4,0\,y\,\mathbf{j}.

Passo 3

Substituir as coordenadas de P(2,3):
E_{x}=-6,0\times2=-12,0\quad\bigl(\tfrac{V}{m}\bigr),
E_{y}=4,0\times3=12,0\quad\bigl(\tfrac{V}{m}\bigr).

Resposta

\mathbf{E}(2,3)=-12,0\,\mathbf{i}+12,0\,\mathbf{j}\quad\bigl(\tfrac{V}{m}\bigr).

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