Questão 1: Voce dirige do Rio à São Paulo metade do tempo com uma velocidade v e a outra metade do tempo a uma velocidade 2 v . Na volta, voce viaja metade da distância a uma velocidade v e a outra metade a uma velocidade 2 v . Determine a velocidade média (a) do Rio à São Paulo, (b) de São Paulo ao Rio. (c) Monte um gráfico da posição em função do tempo para o item (a), considerando a direção de movimento positiva. Indique no gráfico como a velocidade média pode ser calculada.

Passo 1

O enunciado descreve duas viagens de ida e volta entre Rio e São Paulo. A velocidade média em cada trecho é definida como
\text{velocidade média} = \frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.éâ
Na ida, percorremos metade do tempo a v e metade do tempo a 2v. Na volta, percorremos metade da distância a v e metade da distância a 2v. Vamos chamar de D a distância entre Rio e São Paulo e de T o tempo total da ida.

Passo 2

Ida (metade do tempo a v, metade a 2v):
– Tempo em cada trecho: \tfrac{T}{2}.
– Distância no 1.º trecho:
d_1 = v\;\frac{T}{2}.
– Distância no 2.º trecho:
d_2 = 2v\;\frac{T}{2} = vT.
– Distância total:
D = d_1 + d_2 = v\frac{T}{2} + vT = \tfrac{3}{2}\,vT.
– Velocidade média na ida:
\bar v_{\text{ida}} = \frac{D}{T} = \frac{\tfrac{3}{2}\,vT}{T} = \frac{3}{2}\,v.

Passo 3

Volta (metade da distância a v, metade a 2v):
– Distância em cada trecho: \tfrac{D}{2}.
– Tempo no trecho a v:
t_1 = \frac{\tfrac{D}{2}}{v} = \frac{D}{2v}.
– Tempo no trecho a 2v:
t_2 = \frac{\tfrac{D}{2}}{2v} = \frac{D}{4v}.
– Tempo total da volta:
T_{\text{volta}} = t_1 + t_2 = \frac{D}{2v} + \frac{D}{4v} = \frac{3D}{4v}.
– Velocidade média na volta:
\bar v_{\text{volta}} = \frac{D}{T_{\text{volta}}} = \frac{D}{\tfrac{3D}{4v}} = \frac{4}{3}\,v.

Passo 4

Gráfico de posição x(t) na ida (direção positiva do Rio a São Paulo):
 x
 │
 │ ● ← ponto (T, D\(=3\)/\(2\cdot\)vT)
 │ /
 │ /
 │ /
 │ /
 │ ● /
 │ / ← trecho a v (\(0<=\)t≤T/2)
 │ /
 │ /
 │ /
 │ /
 │ /
 │/
 └───────────────── t
 0 T/2 T
Explicação do gráfico:
– De t=0 até t=T/2, x(t)=v\,t (reta de inclinação v).
– De t=T/2 até t=T, x(t)=\tfrac{vT}{2}+2v\,(t-\tfrac{T}{2}) (reta de inclinação 2v).
– A velocidade média \bar v_{\text{ida}} é a inclinação da secante que liga (0,0) a (T,D), ou seja,
\bar v_{\text{ida}}=\frac{D-0}{T-0} =\frac{\tfrac{3}{2}\,vT}{T} =\frac{3}{2}\,v.

Resposta

(a) \displaystyle \bar v_{\text{ida}}=\tfrac{3}{2}\,v.
(b) \displaystyle \bar v_{\text{volta}}=\tfrac{4}{3}\,v.
(c) Gráfico de x(t) na ida conforme descrito no Passo 4, com a secante de (0,0) a \bigl(T,\tfrac{3}{2}vT\bigr) indicando a velocidade média \tfrac{3}{2}v.

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