Considerando y=y(x), escolha (somente) duas das EDOs abaixo e encontre suas soluções gerais (caso apareçam mais que duas na folha de resposta, serão consideradas apenas as duas primeiras vistas):
y^prime+yx+y^2x^2=3, com y1=x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' + yx + y^2x^2 = 3
e informa uma solução particular y1(x)=x. Essa é uma equação de Riccati, pois tem termo em y^2. Quando temos uma solução particular de uma Riccati, usamos a substituição
y = y1 + 1u = x + 1u(x)
para transformar em uma equação linear de primeira ordem em u(x).

Passo 2

Aplicando y = x + 1/u, calculamos
y' = 1 - u'u^2
Substituindo em
y' + yx + y^2x^2 = 3,
temos
1 - u'u^2 + x + tfrac1ux + l(x + tfrac1ur)^2x^2 = 3
Note que
x + tfrac1ux = 1 + 1u,x, (x + tfrac1u)^2x^2 = 1 + 2u,x + 1u^2 x^2
Somando tudo:
1 - u'u^2 + l(1 + tfrac1u xr) + l(1 + tfrac2u x + tfrac1u^2 x^2r) =3
Os termos constantes 1+1+1 somam 3 e cancelam a direita, sobrando
-u'u^2 + 3u,x + 1u^2 x^2 = 0
Multiplicando por u^2,
-,u' + 3ux + 1x^2 = 0 ;Longrightarrow; u' - 3x,u = 1x^2

Passo 3

Agora temos uma equação linear em u:
u' - 3x,u = 1x^2
O fator integrante é
mu(x) = expl(-3!integral tfrac1x,dxr) = exp(-3ln x) = x^-3
Multiplicando a EDO por x^-3, obtemos
l(u,x^-3r)' = 1x^2,x^-3 = x^-5
Integrando,
u,x^-3 = integral x^-5,dx = -tfrac14,x^-4 + C,
onde C é constante arbitrária. Então
u(x) = x^3l(-tfrac14x^-4 + Cr) = C,x^3 - 14x

Passo 4

Voltando à substituição y = x + 1/u, temos
y(x) = x + 1C,x^3 - tfrac14x = x + 14C,x^4 - 14x = x + 4x4C,x^4 - 1

Resposta

A solução geral da EDO é
boxed y(x) = x + 4x4C,x^4 - 1,
onde C é a constante de integração.

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