Prove a partir da definição de limite que:
( ^*) lim x 4 raizx=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição epsilon de<a de limite, que
limxto 4raizx=2
Aqui o conteúdo é prova de limite de função real pelo critério formal: para cada epsilon>0 devemos achar um de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<de<a, valha
l|raizx-2r|<epsilon

Passo 2

Começamos fixando um epsilon>0 arbitrário e procurando um de<a>0 em função de epsilon. Nosso objetivo é garantir
se 0<|x-4|<de<aentãol|raizx-2r|<epsilon ã

Passo 3

Manipulamos a diferença
l|raizx-2r| =l|(raizx-2)(raizx+2)r|raizx+2 =l|x-4r|raizx+2

Passo 4

Para controlar o denominador raizx+2, impomos que de<a<= 4. Assim, se |x-4|<de<a<= 4 então
-4<x-4<4 Longrightarrow 0<x<8 Longrightarrow raizx>= 0
e portanto
raizx+2>= 2
Logo
l|raizx-2r| <= |x-4|2

Passo 5

Para garantir l|raizx-2r|<epsilon, basta pedir
|x-4|2<epsilon Long<=ftrightarrow |x-4|<2epsilon
Logo podemos escolher
de<a = min4,;2epsilon
Com este de<a, sempre que 0<|x-4|<de<a teremos simultaneamente |x-4|<4 (garantindo raizx+2>=2) e |x-4|<2epsilon, de modo que
l|raizx-2r|<=|x-4|2<2epsilon2=epsilon
Isso conclui a prova pelo critério epsilon de<a.

Resposta

A prova usando definição epsilon de<a está completa, logo
limxto 4raizx=2

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