Considerando y=y(x), escolha (somente) duas das EDOs abaixo e encontre suas soluções gerais (caso apareçam mais que duas na folha de resposta, serão consideradas apenas as duas primeiras vistas):
d yd x=4x y+x raizy

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
dydx=4xy+xraizy
e reconhecemos que ela é uma equação de Bernoulli na forma
dydx+P(x)y=Q(x)y^n
com
P(x)=-4x, Q(x)=x, n=tfrac12

Passo 2

Para resolver, fazemos a substituição característica de Bernoulli
u=y^1-n=y^1/2,
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dudx=tfrac12y^-1/2dydx=tfrac12raiz ydydx
Substituindo na EDO original:
dydx=2ududx,
temos
2ududx=4xu^2+xuRightarrowdudx=2xu+x2
Essa é uma EDO linear em u:
dudx-2xu=x2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^-integral2xdx=x^-2
Multiplicando ambos os lados por x^-2 e reconhecendo a derivada do produto:
ddxl(u,x^-2r)=12x,
integramos:
u,x^-2=12ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando a y:
u=x^2l(tfrac12ln|x|+Cr),
e como y=u^2, segue
y=x^4l(tfrac12ln|x|+Cr)^2

Resposta

A solução geral é y(x)=x^4l(tfrac12ln|x|+Cr)^2

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