(4,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O exercício pede pra achar o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
:
Passo 2
O conteúdo envolvido é limite duplo de produto de dois fatores — um fator racional e uma função trigonométrica inversa (
). Vamos usar: continuidade de funções polinomiais, propriedades de limite de produto e o fato de que
tende a
quando
.
Passo 3
Agora, analiso o primeiro fator
Como numerador e denominador são polinômios (contínuos) e em
o denominador
não é zero, posso substituir diretamente:
Logo esse fator tende a zero.
Passo 4
Agora, o segundo fator é
. Quando
, o numerador
e o denominador
, então a razão
cresce sem limite: tende a
. Sabemos que
Portanto esse segundo fator tende a
.
Passo 5
Como temos
- o primeiro fator tende a
, - o segundo fator tende a
(um valor finito),
e sabemos que o limite do produto é o produto dos limites quando eles existem, concluímos que o limite total é
Resposta
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