(4,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (1,-1^+) x^3 y+1x^2+y^2 arctg(x^2y+1)

Passo 1

O exercício pede pra achar o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) se aproxima de (1,-1^+):

Passo 2

O conteúdo envolvido é limite duplo de produto de dois fatores — um fator racional e uma função trigonométrica inversa ( arctg). Vamos usar: continuidade de funções polinomiais, propriedades de limite de produto e o fato de que arctg(t) tende a tfracpi2 quando tto+infty.

Passo 3

Agora, analiso o primeiro fator
lim(x,y)to(1,-1^+)x^3y+1x^2+y^2
Como numerador e denominador são polinômios (contínuos) e em (1,-1) o denominador 1^2+(-1)^2=2 não é zero, posso substituir diretamente:
1^3cdot(-1)+11^2+(-1)^2=-1+12=0
Logo esse fator tende a zero.

Passo 4

Agora, o segundo fator é arctgl(x^2y+1r). Quando (x,y)to(1,-1^+), o numerador x^2to1 e o denominador y+1to0^+, então a razão tfracx^2y+1 cresce sem limite: tende a +infty. Sabemos que
limtto+inftyarctg(t)=pi2
Portanto esse segundo fator tende a tfracpi2.

Passo 5

Como temos
  1. o primeiro fator tende a 0,
  2. o segundo fator tende a tfracpi2 (um valor finito),
    e sabemos que o limite do produto é o produto dos limites quando eles existem, concluímos que o limite total é
0timespi2=0

Resposta

0

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