(4,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (1^+,-1) raizx^3-x y-x^2+yraizx-1

Passo 1

E aí, bora entender o que tá pedindo: calcular lim(x,y)to(1^+,-1) raizx^3 - x y - x^2 + yraizx-1. A matéria aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos precisar de noções de limite, fatoração por agrupamento e propriedades de raízes para simplificar.

Passo 2

Começando a simplificação dentro da raiz. Observe o numerador x^3 - x y - x^2 + y. A gente pode usar fatoração por agrupamento: agrupa x^3 - x^2 e -x y + y. Então

Passo 3

x^3 - x^2 - x y + y = x^2(x-1) - y(x-1) = (x-1)(x^2 - y)

Passo 4

Agora olha o denominador raizx-1. A gente lembra que

Passo 5

x - 1 = (raizx-1)(raizx+1)

Passo 6

Logo, substituindo em

Passo 7

(x-1)(x^2 - y)raizx-1 = (x^2 - y)(raizx+1),

Passo 8

a expressão dentro da raiz vira (x^2 - y)(raizx+1).

Passo 9

Como a raiz quadrada é contínua em valores positivos, podemos levar o limite pra dentro. Quando (x,y)to(1^+,-1):

Passo 10

Passo 11

Então o produto tende a 2 cdot 2 = 4, e daí

Passo 12

raiz(x^2 - y)(raizx+1) to raiz4 = 2

Passo 13

Portanto, o limite existe e vale 2.

Resposta

2

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