Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
x^3-8 a^3 e x^3+8 a^3;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões reconhecendo que elas são diferença ou soma de cubos. O conteúdo que vamos usar é:
u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2)
u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2)
Aqui temos ;8a^3 = (2a)^3, portanto em cada caso usaremos u = x e v = 2a.

Passo 2

Para x^3 - 8a^3 aplicamos a fórmula da diferença de cubos com u = x e v = 2a:
x^3 - 8a^3 = x^3 - (2a)^3 = (x - 2a)l(x^2 + xcdot2a + (2a)^2r)
Agora simplificamos dentro do segundo fator:
x^2 + 2ax + 4a^2
Logo
x^3 - 8a^3 = (x - 2a)(x^2 + 2ax + 4a^2)

Passo 3

Para x^3 + 8a^3 aplicamos a fórmula da soma de cubos com os mesmos u e v:
x^3 + 8a^3 = x^3 + (2a)^3 = (x + 2a)l(x^2 - xcdot2a + (2a)^2r)
Simplificando o segundo fator:
x^2 - 2ax + 4a^2
Portanto
x^3 + 8a^3 = (x + 2a)(x^2 - 2ax + 4a^2)

Resposta

x^3 - 8a^3 = (x - 2a)(x^2 + 2ax + 4a^2)
x^3 + 8a^3 = (x + 2a)(x^2 - 2ax + 4a^2)

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