(4,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede pra gente determinar o limite de uma função de duas variáveis quando \(x,y) \rightarrow (0,0)\. O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e, pra gente resolver, vamos usar a ideia de analisar vários caminhos de aproximação até (0,0) e ver se todos dão o mesmo valor.)
Passo 2
Vamos primeiro analisar o caminho onde x=0. Nesse caso, a expressão fica:
Passo 3
Passo 4
Agora analisamos o caminho onde y=0. Aí a expressão vira:
Passo 5
Passo 6
Por fim, vamos usar o caminho x = y^{3}. Substituindo, temos no numerador:
Passo 7
Passo 8
E no denominador:
Passo 9
Passo 10
Então o quociente é
Passo 11
Passo 12
A gente obteve 0 em dois caminhos (x=0 e y=0) e 1 no caminho x=y^{3}. Como deu resultado diferente dependendo do caminho, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.