(4,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x y^6+x^2 y^3x^3+y^9

Passo 1

O enunciado pede pra gente determinar o limite de uma função de duas variáveis quando \(x,y) \rightarrow (0,0)\. O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e, pra gente resolver, vamos usar a ideia de analisar vários caminhos de aproximação até (0,0) e ver se todos dão o mesmo valor.)

Passo 2

Vamos primeiro analisar o caminho onde x=0. Nesse caso, a expressão fica:

Passo 3

0cdot y^6 + 0^2cdot y^30^3 + y^9 = 0y^9 = 0

Passo 4

Agora analisamos o caminho onde y=0. Aí a expressão vira:

Passo 5

xcdot 0^6 + x^2cdot 0^3x^3 + 0^9 = 0x^3 = 0

Passo 6

Por fim, vamos usar o caminho x = y^{3}. Substituindo, temos no numerador:

Passo 7

x,y^6 + x^2,y^3 = (y^3),y^6 + (y^3)^2,y^3 = y^9 + y^9 = 2y^9

Passo 8

E no denominador:

Passo 9

x^3 + y^9 = (y^3)^3 + y^9 = y^9 + y^9 = 2y^9

Passo 10

Então o quociente é

Passo 11

2y^92y^9 = 1

Passo 12

A gente obteve 0 em dois caminhos (x=0 e y=0) e 1 no caminho x=y^{3}. Como deu resultado diferente dependendo do caminho, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados